---

Step * 1 1 1 1 of Lemma coW-game-reachable


1. [A] : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. w' : coW(A;a.B[a])
5. n : ℤ
6. [%1] : 0 < n
7. ∀f:sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w')))
     ((||f|| ≤ (n - 1))
     ⇒ 0 < ||f||
     ⇒ (∀i:ℕ. ((2 * i) + 1 < ||f|| ⇒ (↓Legal1(f[2 * i];f[(2 * i) + 1]))))
     ⇒ (∀i:ℕ+. (2 * i < ||f|| ⇒ (↓Legal2(f[(2 * i) - 1];f[2 * i]))))
     ⇒ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f|| - 1]))
8. f : sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w')))
9. ||f|| ≤ n
10. 0 < ||f||
11. ∀i:ℕ. ((2 * i) + 1 < ||f|| ⇒ (↓Legal1(f[2 * i];f[(2 * i) + 1])))
12. ∀i:ℕ+. (2 * i < ||f|| ⇒ (↓Legal2(f[(2 * i) - 1];f[2 * i])))
13. ||f|| = n ∈ ℤ
⊢ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f|| - 1])
BY
{ (D 7 With ⌜seq-truncate(f;n - 1)⌝  THENA Auto) }

1
1. [A] : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. w' : coW(A;a.B[a])
5. n : ℤ
6. [%1] : 0 < n
7. f : sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w')))
8. ||f|| ≤ n
9. 0 < ||f||
10. ∀i:ℕ. ((2 * i) + 1 < ||f|| ⇒ (↓Legal1(f[2 * i];f[(2 * i) + 1])))
11. ∀i:ℕ+. (2 * i < ||f|| ⇒ (↓Legal2(f[(2 * i) - 1];f[2 * i])))
12. ||f|| = n ∈ ℤ
13. (||seq-truncate(f;n - 1)|| ≤ (n - 1))
⇒ 0 < ||seq-truncate(f;n - 1)||
⇒ (∀i:ℕ
      ((2 * i) + 1 < ||seq-truncate(f;n - 1)||
      ⇒ (↓Legal1(seq-truncate(f;n - 1)[2 * i];seq-truncate(f;n - 1)[(2 * i) + 1]))))
⇒ (∀i:ℕ+
      (2 * i < ||seq-truncate(f;n - 1)|| ⇒ (↓Legal2(seq-truncate(f;n - 1)[(2 * i) - 1];seq-truncate(f;n - 1)[2 * i]))))
⇒ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';seq-truncate(f;n - 1)[0];seq-truncate(f;n - 1)[||seq-truncate(f;n - 1)|| - 1])
⊢ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f|| - 1])

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \mBbbU{}'
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  w  :  coW(A;a.B[a])
4.  w'  :  coW(A;a.B[a])
5.  n  :  \mBbbZ{}
6.  [\%1]  :  0  <  n
7.  \mforall{}f:sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w')))
          ((||f||  \mleq{}  (n  -  1))
          {}\mRightarrow{}  0  <  ||f||
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}.  ((2  *  i)  +  1  <  ||f||  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Legal1(f[2  *  i];f[(2  *  i)  +  1]))))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}\msupplus{}.  (2  *  i  <  ||f||  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Legal2(f[(2  *  i)  -  1];f[2  *  i]))))
          {}\mRightarrow{}  coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f||  -  1]))
8.  f  :  sequence(Pos(coW-game(a.B[a];w;w')))
9.  ||f||  \mleq{}  n
10.  0  <  ||f||
11.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((2  *  i)  +  1  <  ||f||  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Legal1(f[2  *  i];f[(2  *  i)  +  1])))
12.  \mforall{}i:\mBbbN{}\msupplus{}.  (2  *  i  <  ||f||  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Legal2(f[(2  *  i)  -  1];f[2  *  i])))
13.  ||f||  =  n
\mvdash{}  coW-pos-agree(a.B[a];w;w';f[0];f[||f||  -  1])


By

---

Latex:
(D  7  With  \mkleeneopen{}seq-truncate(f;n  -  1)\mkleeneclose{}    THENA  Auto)

---

Home Index