---

Step * 2 3 1 1 1 1 1 of Lemma coW-play-invariant


1. [A] : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. w' : coW(A;a.B[a])
5. n : ℕ
6. s : win2strat(coW-game(a.B[a];w;w');n)
7. moves : strat2play(coW-game(a.B[a];w;w');n;s)
8. moves[0] = InitialPos(coW-game(a.B[a];w;w')) ∈ Pos(coW-game(a.B[a];w;w'))
9. i : ℤ
10. [%4] : 0 < i
11. ((i - 1) ≤ n)
⇒ (coW-pos-lens(moves[2 * (i - 1)];i - 1;i - 1)
   ∧ (coW-pos-lens(moves[(2 * (i - 1)) + 1];i - 1;(i - 1) + 1)
     ∨ coW-pos-lens(moves[(2 * (i - 1)) + 1];(i - 1) + 1;i - 1)))
12. ((i - 1) ≤ ((2 * n) + 1)) ⇒ (∀j:ℕ(i - 1) + 1. coW-pos-agree(a.B[a];w;w';moves[j];moves[i - 1]))
13. (i ≤ n)
⇒ (coW-pos-lens(moves[2 * i];i;i)
   ∧ (coW-pos-lens(moves[(2 * i) + 1];i;i + 1) ∨ coW-pos-lens(moves[(2 * i) + 1];i + 1;i)))
14. 1 ≤ i
15. i ≤ ((2 * n) + 1)
16. (i - 1) = ((((i - 1) ÷ 2) * 2) + (i - 1 rem 2)) ∈ ℤ
17. 0 ≤ ((i - 1) ÷ 2)
18. (0 ≤ (i - 1 rem 2)) ∧ i - 1 rem 2 < 2
19. ↓Legal1(moves[2 * ((i - 1) ÷ 2)];moves[(2 * ((i - 1) ÷ 2)) + 1])
20. (i - 1) ÷ 2 < n
⇒ ((↓Legal2(moves[(2 * ((i - 1) ÷ 2)) + 1];moves[2 * (((i - 1) ÷ 2) + 1)]))
   ∧ (moves[2 * (((i - 1) ÷ 2) + 1)] = (s play-truncate(moves;2 * (((i - 1) ÷ 2) + 1))) ∈ Pos(coW-game(a.B[a];w;w'))))
21. (i - 1 rem 2) = 0 ∈ ℤ
⊢ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';moves[i - 1];moves[i])
BY
{ (Thin (-2)
   THEN Eliminate ⌜i - 1 rem 2⌝⋅
   THEN All Reduce
   THEN (Assert (2 * ((i - 1) ÷ 2)) = (i - 1) ∈ ℤ BY
               Auto)
   THEN Eliminate ⌜2 * ((i - 1) ÷ 2)⌝⋅
   THEN All Reduce
   THEN RepeatFor 2 (Thin (-1))
   THEN (Subst' (i - 1) + 1 ~ i -1 THENA Auto)) }

1
1. i : ℤ
2. [A] : 𝕌'
3. B : A ⟶ Type
4. w : coW(A;a.B[a])
5. w' : coW(A;a.B[a])
6. n : ℕ
7. s : win2strat(coW-game(a.B[a];w;w');n)
8. moves : strat2play(coW-game(a.B[a];w;w');n;s)
9. moves[0] = InitialPos(coW-game(a.B[a];w;w')) ∈ Pos(coW-game(a.B[a];w;w'))
10. [%4] : 0 < i
11. ((i - 1) ≤ n)
⇒ (coW-pos-lens(moves[2 * (i - 1)];i - 1;i - 1)
   ∧ (coW-pos-lens(moves[(2 * (i - 1)) + 1];i - 1;(i - 1) + 1)
     ∨ coW-pos-lens(moves[(2 * (i - 1)) + 1];(i - 1) + 1;i - 1)))
12. ((i - 1) ≤ ((2 * n) + 1)) ⇒ (∀j:ℕ(i - 1) + 1. coW-pos-agree(a.B[a];w;w';moves[j];moves[i - 1]))
13. (i ≤ n)
⇒ (coW-pos-lens(moves[2 * i];i;i)
   ∧ (coW-pos-lens(moves[(2 * i) + 1];i;i + 1) ∨ coW-pos-lens(moves[(2 * i) + 1];i + 1;i)))
14. 1 ≤ i
15. i ≤ ((2 * n) + 1)
16. (i - 1) = ((((i - 1) ÷ 2) * 2) + 0) ∈ ℤ
17. 0 ≤ ((i - 1) ÷ 2)
18. (0 ≤ 0) ∧ 0 < 2
19. ↓Legal1(moves[i - 1];moves[i])
⊢ coW-pos-agree(a.B[a];w;w';moves[i - 1];moves[i])

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \mBbbU{}'
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  w  :  coW(A;a.B[a])
4.  w'  :  coW(A;a.B[a])
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  s  :  win2strat(coW-game(a.B[a];w;w');n)
7.  moves  :  strat2play(coW-game(a.B[a];w;w');n;s)
8.  moves[0]  =  InitialPos(coW-game(a.B[a];w;w'))
9.  i  :  \mBbbZ{}
10.  [\%4]  :  0  <  i
11.  ((i  -  1)  \mleq{}  n)
{}\mRightarrow{}  (coW-pos-lens(moves[2  *  (i  -  1)];i  -  1;i  -  1)
      \mwedge{}  (coW-pos-lens(moves[(2  *  (i  -  1))  +  1];i  -  1;(i  -  1)  +  1)
          \mvee{}  coW-pos-lens(moves[(2  *  (i  -  1))  +  1];(i  -  1)  +  1;i  -  1)))
12.  ((i  -  1)  \mleq{}  ((2  *  n)  +  1))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}(i  -  1)  +  1.  coW-pos-agree(a.B[a];w;w';moves[j];moves[i  -  1]))
13.  (i  \mleq{}  n)
{}\mRightarrow{}  (coW-pos-lens(moves[2  *  i];i;i)
      \mwedge{}  (coW-pos-lens(moves[(2  *  i)  +  1];i;i  +  1)  \mvee{}  coW-pos-lens(moves[(2  *  i)  +  1];i  +  1;i)))
14.  1  \mleq{}  i
15.  i  \mleq{}  ((2  *  n)  +  1)
16.  (i  -  1)  =  ((((i  -  1)  \mdiv{}  2)  *  2)  +  (i  -  1  rem  2))
17.  0  \mleq{}  ((i  -  1)  \mdiv{}  2)
18.  (0  \mleq{}  (i  -  1  rem  2))  \mwedge{}  i  -  1  rem  2  <  2
19.  \mdownarrow{}Legal1(moves[2  *  ((i  -  1)  \mdiv{}  2)];moves[(2  *  ((i  -  1)  \mdiv{}  2))  +  1])
20.  (i  -  1)  \mdiv{}  2  <  n
{}\mRightarrow{}  ((\mdownarrow{}Legal2(moves[(2  *  ((i  -  1)  \mdiv{}  2))  +  1];moves[2  *  (((i  -  1)  \mdiv{}  2)  +  1)]))
      \mwedge{}  (moves[2  *  (((i  -  1)  \mdiv{}  2)  +  1)]  =  (s  play-truncate(moves;2  *  (((i  -  1)  \mdiv{}  2)  +  1)))))
21.  (i  -  1  rem  2)  =  0
\mvdash{}  coW-pos-agree(a.B[a];w;w';moves[i  -  1];moves[i])


By

---

Latex:
(Thin  (-2)
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}i  -  1  rem  2\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  All  Reduce
  THEN  (Assert  (2  *  ((i  -  1)  \mdiv{}  2))  =  (i  -  1)  BY
                          Auto)
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}2  *  ((i  -  1)  \mdiv{}  2)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  All  Reduce
  THEN  RepeatFor  2  (Thin  (-1))
  THEN  (Subst'  (i  -  1)  +  1  \msim{}  i  -1  THENA  Auto))

---

Home Index