---

Step * 1 1 1 of Lemma equiv-on-corec-2


1. F : 𝕌' ⟶ 𝕌'
2. continuous-monotone{i':l}(T.F[T])
3. G : ⋂T:𝕌'. ((T ⟶ T ⟶ ℙ) ⟶ F[T] ⟶ F[T] ⟶ ℙ)
4. ∀T:𝕌'. ∀E:T ⟶ T ⟶ ℙ.  (EquivRel(T;x,y.E x y) ⇒ EquivRel(F[T];x,y.G E x y))
5. ∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) ∈ primrec(n;Top;λ,T. F[T]) ⟶ primrec(n;Top;λ,T. F[T]) ⟶ ℙ)
6. ∀n:ℕ. EquivRel(primrec(n;Top;λ,T. F[T]);x,y.G^n (λx,y. True) x y)
7. corec-rel(G) ∈ corec(T.F[T]) ⟶ corec(T.F[T]) ⟶ ℙ
8. corec(T.F[T]) ∈ 𝕌'
⊢ EquivRel(corec(T.F[T]);x,y.corec-rel(G) x y)
BY
{ (RepeatFor 2 ((D 0 THEN Auto))
   THEN All (RepUR ``corec-rel``)
   THEN D 0
   THEN Auto
   THEN (Assert EquivRel(primrec(n;Top;λ,T. F[T]);x,y.G^n (λx,y. True) x y) BY
               Auto)) }

1
1. F : 𝕌' ⟶ 𝕌'
2. continuous-monotone{i':l}(T.F[T])
3. G : ⋂T:𝕌'. ((T ⟶ T ⟶ ℙ) ⟶ F[T] ⟶ F[T] ⟶ ℙ)
4. ∀T:𝕌'. ∀E:T ⟶ T ⟶ ℙ.  (EquivRel(T;x,y.E x y) ⇒ EquivRel(F[T];x,y.G E x y))
5. ∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) ∈ primrec(n;Top;λ,T. F[T]) ⟶ primrec(n;Top;λ,T. F[T]) ⟶ ℙ)
6. ∀n:ℕ. EquivRel(primrec(n;Top;λ,T. F[T]);x,y.G^n (λx,y. True) x y)
7. λx,y. ∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) x y) ∈ corec(T.F[T]) ⟶ corec(T.F[T]) ⟶ ℙ
8. corec(T.F[T]) ∈ 𝕌'
9. Sym(corec(T.F[T]);x,y.∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) x y))
10. a : corec(T.F[T])
11. b : corec(T.F[T])
12. c : corec(T.F[T])
13. ∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) a b)
14. ∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) b c)
15. n : ℕ
16. EquivRel(primrec(n;Top;λ,T. F[T]);x,y.G^n (λx,y. True) x y)
⊢ G^n (λx,y. True) a c

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  \mBbbU{}'  {}\mrightarrow{}  \mBbbU{}'
2.  continuous-monotone\{i':l\}(T.F[T])
3.  G  :  \mcap{}T:\mBbbU{}'.  ((T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{})  {}\mrightarrow{}  F[T]  {}\mrightarrow{}  F[T]  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{})
4.  \mforall{}T:\mBbbU{}'.  \mforall{}E:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.    (EquivRel(T;x,y.E  x  y)  {}\mRightarrow{}  EquivRel(F[T];x,y.G  E  x  y))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  \mmember{}  primrec(n;Top;\mlambda{},T.  F[T])  {}\mrightarrow{}  primrec(n;Top;\mlambda{},T.  F[T])  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{})
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  EquivRel(primrec(n;Top;\mlambda{},T.  F[T]);x,y.G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  x  y)
7.  corec-rel(G)  \mmember{}  corec(T.F[T])  {}\mrightarrow{}  corec(T.F[T])  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  corec(T.F[T])  \mmember{}  \mBbbU{}'
\mvdash{}  EquivRel(corec(T.F[T]);x,y.corec-rel(G)  x  y)


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  ((D  0  THEN  Auto))
  THEN  All  (RepUR  ``corec-rel``)
  THEN  D  0
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  EquivRel(primrec(n;Top;\mlambda{},T.  F[T]);x,y.G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  x  y)  BY
                          Auto))

---

Home Index