---

Step * 1 1 1 1 of Lemma equiv-on-corec-2


1. F : 𝕌' ⟶ 𝕌'
2. continuous-monotone{i':l}(T.F[T])
3. G : ⋂T:𝕌'. ((T ⟶ T ⟶ ℙ) ⟶ F[T] ⟶ F[T] ⟶ ℙ)
4. ∀T:𝕌'. ∀E:T ⟶ T ⟶ ℙ.  (EquivRel(T;x,y.E x y) ⇒ EquivRel(F[T];x,y.G E x y))
5. ∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) ∈ primrec(n;Top;λ,T. F[T]) ⟶ primrec(n;Top;λ,T. F[T]) ⟶ ℙ)
6. ∀n:ℕ. EquivRel(primrec(n;Top;λ,T. F[T]);x,y.G^n (λx,y. True) x y)
7. λx,y. ∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) x y) ∈ corec(T.F[T]) ⟶ corec(T.F[T]) ⟶ ℙ
8. corec(T.F[T]) ∈ 𝕌'
9. Sym(corec(T.F[T]);x,y.∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) x y))
10. a : corec(T.F[T])
11. b : corec(T.F[T])
12. c : corec(T.F[T])
13. ∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) a b)
14. ∀n:ℕ. (G^n (λx,y. True) b c)
15. n : ℕ
16. EquivRel(primrec(n;Top;λ,T. F[T]);x,y.G^n (λx,y. True) x y)
⊢ G^n (λx,y. True) a c
BY
{ (RepeatFor 2 (D -1) THEN UseTrans ⌜b⌝⋅) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  \mBbbU{}'  {}\mrightarrow{}  \mBbbU{}'
2.  continuous-monotone\{i':l\}(T.F[T])
3.  G  :  \mcap{}T:\mBbbU{}'.  ((T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{})  {}\mrightarrow{}  F[T]  {}\mrightarrow{}  F[T]  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{})
4.  \mforall{}T:\mBbbU{}'.  \mforall{}E:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.    (EquivRel(T;x,y.E  x  y)  {}\mRightarrow{}  EquivRel(F[T];x,y.G  E  x  y))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  \mmember{}  primrec(n;Top;\mlambda{},T.  F[T])  {}\mrightarrow{}  primrec(n;Top;\mlambda{},T.  F[T])  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{})
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  EquivRel(primrec(n;Top;\mlambda{},T.  F[T]);x,y.G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  x  y)
7.  \mlambda{}x,y.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  x  y)  \mmember{}  corec(T.F[T])  {}\mrightarrow{}  corec(T.F[T])  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  corec(T.F[T])  \mmember{}  \mBbbU{}'
9.  Sym(corec(T.F[T]);x,y.\mforall{}n:\mBbbN{}.  (G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  x  y))
10.  a  :  corec(T.F[T])
11.  b  :  corec(T.F[T])
12.  c  :  corec(T.F[T])
13.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  a  b)
14.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  b  c)
15.  n  :  \mBbbN{}
16.  EquivRel(primrec(n;Top;\mlambda{},T.  F[T]);x,y.G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  x  y)
\mvdash{}  G\^{}n  (\mlambda{}x,y.  True)  a  c


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (D  -1)  THEN  UseTrans  \mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index