---

Step * 2 of Lemma pcw-path-coPath_wf

.....upcase..... 
1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. p : Path
5. StepAgree(p 0;⋅;w)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. <Ax, λx.Ax> ∈ (pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w))
   ∧ ((copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ)
     ⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a])))
⊢ <Ax, λx.Ax> ∈ (pcw-path-coPath(n;p) ∈ copath(a.B[a];w))
  ∧ ((copath-length(pcw-path-coPath(n;p)) = n ∈ ℤ)
    ⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n;p)) = (fst(snd((p n)))) ∈ coW(A;a.B[a])))
BY
{ (DVar `p'
   THEN (Assert (pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w))
               ∧ ((copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ)
                 ⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a]))) BY
               (UseWitness ⌜<Ax, λx.Ax>⌝⋅ THEN Trivial))
   THEN Thin (-2)
   THEN D -1
   THEN (Assert ⌜(pcw-path-coPath(n;p) ∈ copath(a.B[a];w))
                 ∧ ((copath-length(pcw-path-coPath(n;p)) = n ∈ ℤ)
                   ⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n;p)) = (fst(snd((p n)))) ∈ coW(A;a.B[a])))⌝⋅
   THENM Auto
   )
   THEN (D 5 With ⌜n - 1⌝  THENA Auto)
   THEN (Subst' (n - 1) + 1 ~ n -1 THENA Auto)) }

1
1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. p : ℕ ⟶ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
5. StepAgree(p 0;⋅;w)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w)
9. (copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ)
⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a]))
10. StepRel(p (n - 1);p n)
⊢ (pcw-path-coPath(n;p) ∈ copath(a.B[a];w))
∧ ((copath-length(pcw-path-coPath(n;p)) = n ∈ ℤ)
  ⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n;p)) = (fst(snd((p n)))) ∈ coW(A;a.B[a])))

---

Latex:

---

Latex:
.....upcase..... 
1.  A  :  \mBbbU{}'
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  w  :  coW(A;a.B[a])
4.  p  :  Path
5.  StepAgree(p  0;\mcdot{};w)
6.  n  :  \mBbbZ{}
7.  0  <  n
8.  <Ax,  \mlambda{}x.Ax>  \mmember{}  (pcw-path-coPath(n  -  1;p)  \mmember{}  copath(a.B[a];w))
      \mwedge{}  ((copath-length(pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (n  -  1))
          {}\mRightarrow{}  (copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (fst(snd((p  (n  -  1)))))))
\mvdash{}  <Ax,  \mlambda{}x.Ax>  \mmember{}  (pcw-path-coPath(n;p)  \mmember{}  copath(a.B[a];w))
    \mwedge{}  ((copath-length(pcw-path-coPath(n;p))  =  n)
        {}\mRightarrow{}  (copath-at(w;pcw-path-coPath(n;p))  =  (fst(snd((p  n))))))


By

---

Latex:
(DVar  `p'
  THEN  (Assert  (pcw-path-coPath(n  -  1;p)  \mmember{}  copath(a.B[a];w))
                          \mwedge{}  ((copath-length(pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (n  -  1))
                              {}\mRightarrow{}  (copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (fst(snd((p  (n  -  1)))))))  BY
                          (UseWitness  \mkleeneopen{}<Ax,  \mlambda{}x.Ax>\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Trivial))
  THEN  Thin  (-2)
  THEN  D  -1
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(pcw-path-coPath(n;p)  \mmember{}  copath(a.B[a];w))
                              \mwedge{}  ((copath-length(pcw-path-coPath(n;p))  =  n)
                                  {}\mRightarrow{}  (copath-at(w;pcw-path-coPath(n;p))  =  (fst(snd((p  n))))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  Auto
  )
  THEN  (D  5  With  \mkleeneopen{}n  -  1\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  (n  -  1)  +  1  \msim{}  n  -1  THENA  Auto))

---

Home Index