---

Step * 1 of Lemma pcw-pp-lemma


1. P : Type@i'
2. A : P ⟶ Type@i'
3. B : p:P ⟶ A[p] ⟶ Type@i'
4. C : p:P ⟶ a:A[p] ⟶ B[p;a] ⟶ P@i
5. par : P@i
6. w : pW par@i
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀m:ℕn - 1. ∀ss:ℕn - 1 ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]).
     ((∀x:ℕn - 1. (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) x ss (ss x)))
     ⇒ (fst(snd((ss m))) ∈ pW (fst((ss m)))))
10. m : ℕn@i
11. ss : ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])@i
12. ∀x:ℕn. (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) x ss (ss x))
13. p : P@i
14. w1 : pco-W p@i
15. v2 : B[p;fst(w1)]?@i
16. (ss m) = <p, w1, v2> ∈ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
17. (↑isl(snd(snd((ss (m - 1))))))
∧ let p@0,w,d = ss (m - 1) in 
  let a,f = w 
  in case d of inl(b) => (p = C[p@0;a;b] ∈ P) ∧ (w1 = (f b) ∈ (pco-W C[p@0;a;b])) | inr(x) => True
18. 0 < m
⊢ w1 ∈ pW p
BY
{ (InstHyp [⌜m - 1⌝;⌜ss⌝] 9⋅ THENA Auto) }

1
1. P : Type@i'
2. A : P ⟶ Type@i'
3. B : p:P ⟶ A[p] ⟶ Type@i'
4. C : p:P ⟶ a:A[p] ⟶ B[p;a] ⟶ P@i
5. par : P@i
6. w : pW par@i
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀m:ℕn - 1. ∀ss:ℕn - 1 ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]).
     ((∀x:ℕn - 1. (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) x ss (ss x)))
     ⇒ (fst(snd((ss m))) ∈ pW (fst((ss m)))))
10. m : ℕn@i
11. ss : ℕn ⟶ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])@i
12. ∀x:ℕn. (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w) x ss (ss x))
13. p : P@i
14. w1 : pco-W p@i
15. v2 : B[p;fst(w1)]?@i
16. (ss m) = <p, w1, v2> ∈ pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])
17. (↑isl(snd(snd((ss (m - 1))))))
∧ let p@0,w,d = ss (m - 1) in 
  let a,f = w 
  in case d of inl(b) => (p = C[p@0;a;b] ∈ P) ∧ (w1 = (f b) ∈ (pco-W C[p@0;a;b])) | inr(x) => True
18. 0 < m
19. fst(snd((ss (m - 1)))) ∈ pW (fst((ss (m - 1))))
⊢ w1 ∈ pW p

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Type@i'
2.  A  :  P  {}\mrightarrow{}  Type@i'
3.  B  :  p:P  {}\mrightarrow{}  A[p]  {}\mrightarrow{}  Type@i'
4.  C  :  p:P  {}\mrightarrow{}  a:A[p]  {}\mrightarrow{}  B[p;a]  {}\mrightarrow{}  P@i
5.  par  :  P@i
6.  w  :  pW  par@i
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  n
9.  \mforall{}m:\mBbbN{}n  -  1.  \mforall{}ss:\mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b]).
          ((\mforall{}x:\mBbbN{}n  -  1.  (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  x  ss  (ss  x)))
          {}\mRightarrow{}  (fst(snd((ss  m)))  \mmember{}  pW  (fst((ss  m)))))
10.  m  :  \mBbbN{}n@i
11.  ss  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  pcw-step(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b])@i
12.  \mforall{}x:\mBbbN{}n.  (param-W-rel(P;p.A[p];p,a.B[p;a];p,a,b.C[p;a;b];par;w)  x  ss  (ss  x))
13.  p  :  P@i
14.  w1  :  pco-W  p@i
15.  v2  :  B[p;fst(w1)]?@i
16.  (ss  m)  =  <p,  w1,  v2>
17.  (\muparrow{}isl(snd(snd((ss  (m  -  1))))))
\mwedge{}  let  p@0,w,d  =  ss  (m  -  1)  in 
    let  a,f  =  w 
    in  case  d  of  inl(b)  =>  (p  =  C[p@0;a;b])  \mwedge{}  (w1  =  (f  b))  |  inr(x)  =>  True
18.  0  <  m
\mvdash{}  w1  \mmember{}  pW  p


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}m  -  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}ss\mkleeneclose{}]  9\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index