---

Step * 1 1 1 of Lemma respond-implies-win2

.....truecase..... 
1. g : SimpleGame
2. m : p:{p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)}  ⟶ {q:Pos(g)| Legal2(p;q)} 
3. s : ∀p:{p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} . ∀[n:ℕ]. win2strat(g@m p;n)
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. λmoves.if (||moves|| =z 2) then m moves[1] else s moves[1] seq-tl(seq-tl(moves)) fi  ∈ win2strat(g;n - 1)
7. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
8. moves : strat2play(g;n - 1;λmoves.if (||moves|| =z 2) then m moves[1] else s moves[1] seq-tl(seq-tl(moves)) fi )
9. ||moves|| = (2 * n) ∈ ℤ
10. moves[1] ∈ {p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} 
11. ||moves|| = 2 ∈ ℤ
⊢ m moves[1] ∈ {p:Pos(g)| Legal2(moves[(2 * n) - 1];p)} 
BY
{ (Subst' n ~ 1 0
   THEN Auto
   THEN (Assert (2 * n) = 2 ∈ ℤ BY
               Auto)
   THEN (CaseNat 1 `n' THEN Auto)
   THEN (Assert 2 ≤ n BY
               Auto)
   THEN Mul ⌜2⌝ (-1)⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....truecase..... 
1.  g  :  SimpleGame
2.  m  :  p:\{p:Pos(g)|  Legal1(InitialPos(g);p)\}    {}\mrightarrow{}  \{q:Pos(g)|  Legal2(p;q)\} 
3.  s  :  \mforall{}p:\{p:Pos(g)|  Legal1(InitialPos(g);p)\}  .  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  win2strat(g@m  p;n)
4.  n  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  n
6.  \mlambda{}moves.if  (||moves||  =\msubz{}  2)  then  m  moves[1]  else  s  moves[1]  seq-tl(seq-tl(moves))  fi 
      \mmember{}  win2strat(g;n  -  1)
7.  \mneg{}(n  =  0)
8.  moves  :  strat2play(g;n  -  1;\mlambda{}moves.if  (||moves||  =\msubz{}  2)
                                                                          then  m  moves[1]
                                                                          else  s  moves[1]  seq-tl(seq-tl(moves))
                                                                          fi  )
9.  ||moves||  =  (2  *  n)
10.  moves[1]  \mmember{}  \{p:Pos(g)|  Legal1(InitialPos(g);p)\} 
11.  ||moves||  =  2
\mvdash{}  m  moves[1]  \mmember{}  \{p:Pos(g)|  Legal2(moves[(2  *  n)  -  1];p)\} 


By

---

Latex:
(Subst'  n  \msim{}  1  0
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  (2  *  n)  =  2  BY
                          Auto)
  THEN  (CaseNat  1  `n'  THEN  Auto)
  THEN  (Assert  2  \mleq{}  n  BY
                          Auto)
  THEN  Mul  \mkleeneopen{}2\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index