---

Step * 1 1 2 of Lemma respond-implies-win2

.....falsecase..... 
1. g : SimpleGame
2. m : p:{p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)}  ⟶ {q:Pos(g)| Legal2(p;q)} 
3. s : ∀p:{p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} . ∀[n:ℕ]. win2strat(g@m p;n)
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. λmoves.if (||moves|| =z 2) then m moves[1] else s moves[1] seq-tl(seq-tl(moves)) fi  ∈ win2strat(g;n - 1)
7. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
8. moves : strat2play(g;n - 1;λmoves.if (||moves|| =z 2) then m moves[1] else s moves[1] seq-tl(seq-tl(moves)) fi )
9. ||moves|| = (2 * n) ∈ ℤ
10. moves[1] ∈ {p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} 
11. ¬(||moves|| = 2 ∈ ℤ)
⊢ s moves[1] seq-tl(seq-tl(moves)) ∈ {p:Pos(g)| Legal2(moves[(2 * n) - 1];p)} 
BY
{ ((Assert ¬(n = 1 ∈ ℤ) BY
          (ParallelLast THEN Eliminate ⌜n⌝⋅ THEN Auto))
   THEN (Assert 2 ≤ n BY
               Auto)
   THEN RepeatFor 2 (Thin (-2))
   THEN (Mul ⌜2⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN Reduce -1) }

1
1. g : SimpleGame
2. m : p:{p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)}  ⟶ {q:Pos(g)| Legal2(p;q)} 
3. s : ∀p:{p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} . ∀[n:ℕ]. win2strat(g@m p;n)
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. λmoves.if (||moves|| =z 2) then m moves[1] else s moves[1] seq-tl(seq-tl(moves)) fi  ∈ win2strat(g;n - 1)
7. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
8. moves : strat2play(g;n - 1;λmoves.if (||moves|| =z 2) then m moves[1] else s moves[1] seq-tl(seq-tl(moves)) fi )
9. ||moves|| = (2 * n) ∈ ℤ
10. moves[1] ∈ {p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} 
11. 2 ≤ n
12. 4 ≤ (2 * n)
⊢ s moves[1] seq-tl(seq-tl(moves)) ∈ {p:Pos(g)| Legal2(moves[(2 * n) - 1];p)} 

---

Latex:

---

Latex:
.....falsecase..... 
1.  g  :  SimpleGame
2.  m  :  p:\{p:Pos(g)|  Legal1(InitialPos(g);p)\}    {}\mrightarrow{}  \{q:Pos(g)|  Legal2(p;q)\} 
3.  s  :  \mforall{}p:\{p:Pos(g)|  Legal1(InitialPos(g);p)\}  .  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  win2strat(g@m  p;n)
4.  n  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  n
6.  \mlambda{}moves.if  (||moves||  =\msubz{}  2)  then  m  moves[1]  else  s  moves[1]  seq-tl(seq-tl(moves))  fi 
      \mmember{}  win2strat(g;n  -  1)
7.  \mneg{}(n  =  0)
8.  moves  :  strat2play(g;n  -  1;\mlambda{}moves.if  (||moves||  =\msubz{}  2)
                                                                          then  m  moves[1]
                                                                          else  s  moves[1]  seq-tl(seq-tl(moves))
                                                                          fi  )
9.  ||moves||  =  (2  *  n)
10.  moves[1]  \mmember{}  \{p:Pos(g)|  Legal1(InitialPos(g);p)\} 
11.  \mneg{}(||moves||  =  2)
\mvdash{}  s  moves[1]  seq-tl(seq-tl(moves))  \mmember{}  \{p:Pos(g)|  Legal2(moves[(2  *  n)  -  1];p)\} 


By

---

Latex:
((Assert  \mneg{}(n  =  1)  BY
                (ParallelLast  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  2  \mleq{}  n  BY
                          Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (Thin  (-2))
  THEN  (Mul  \mkleeneopen{}2\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  -1)

---

Home Index