---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma KleeneSearch_wf


1. T : {T:Type| (T ⊆r ℕ) ∧ (↓T)} 
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. f : ℕ ⟶ T
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
5. ∀f:ℕ ⟶ T
     ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
     ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
     ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
6. n : ℕ
7. (M n f) = (F f) ∈ ℕ
8. ∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer
9. ∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)
10. d : ℕ
11. ∀d:ℕd. ∀start:ℕ.
      ((n ≤ (start + d))
      ⇒ (KleeneSearch(M;f;start) ∈ {m:ℕ| (start ≤ m) ∧ (∀g:ℕ ⟶ T. ((g = f ∈ (ℕm ⟶ T)) ⇒ ((F g) = (F f) ∈ ℤ)))} ))
12. start : ℕ
13. n ≤ (start + d)
14. a1 : ℕ
15. (M start f) = a1 ∈ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
16. (M start f) = (F f) ∈ ℕ
17. start ≤ start
18. g : ℕ ⟶ T
19. g = f ∈ (ℕstart ⟶ T)
20. (F f) = (M start g) ∈ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
⊢ (F g) = (F f) ∈ ℤ
BY
{ (DupHyp (-1) THEN (ApFunToHypEquands `Z' ⌜Z is an integer⌝ ⌜ℙ⌝ (-1)⋅ THENA Auto) THEN (D 5 With ⌜g⌝  THENA Auto)) }

1
1. T : {T:Type| (T ⊆r ℕ) ∧ (↓T)} 
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. f : ℕ ⟶ T
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
5. n : ℕ
6. (M n f) = (F f) ∈ ℕ
7. ∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer
8. ∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)
9. d : ℕ
10. ∀d:ℕd. ∀start:ℕ.
      ((n ≤ (start + d))
      ⇒ (KleeneSearch(M;f;start) ∈ {m:ℕ| (start ≤ m) ∧ (∀g:ℕ ⟶ T. ((g = f ∈ (ℕm ⟶ T)) ⇒ ((F g) = (F f) ∈ ℤ)))} ))
11. start : ℕ
12. n ≤ (start + d)
13. a1 : ℕ
14. (M start f) = a1 ∈ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
15. (M start f) = (F f) ∈ ℕ
16. start ≤ start
17. g : ℕ ⟶ T
18. g = f ∈ (ℕstart ⟶ T)
19. (F f) = (M start g) ∈ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
20. (F f) = (M start g) ∈ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
21. F f is an integer = M start g is an integer ∈ ℙ
22. (∃n:ℕ. ((M n g) = (F g) ∈ ℕ))
∧ (∀n:ℕ. (M n g) = (F g) ∈ ℕ supposing M n g is an integer)
∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n g is an integer ⇒ M m g is an integer))
⊢ (F g) = (F f) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  \{T:Type|  (T  \msubseteq{}r  \mBbbN{})  \mwedge{}  (\mdownarrow{}T)\} 
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
4.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  \mcup{}  (\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{}))
5.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
          ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (F  f)))
          \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (F  f)  supposing  M  n  f  is  an  integer)
          \mwedge{}  (\mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  M  n  f  is  an  integer  {}\mRightarrow{}  M  m  f  is  an  integer)))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  (M  n  f)  =  (F  f)
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (F  f)  supposing  M  n  f  is  an  integer
9.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  M  n  f  is  an  integer  {}\mRightarrow{}  M  m  f  is  an  integer)
10.  d  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}d:\mBbbN{}d.  \mforall{}start:\mBbbN{}.
            ((n  \mleq{}  (start  +  d))
            {}\mRightarrow{}  (KleeneSearch(M;f;start)  \mmember{}  \{m:\mBbbN{}|  (start  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (\mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  ((g  =  f)  {}\mRightarrow{}  ((F  g)  =  (F  f))))\}  )\000C)
12.  start  :  \mBbbN{}
13.  n  \mleq{}  (start  +  d)
14.  a1  :  \mBbbN{}
15.  (M  start  f)  =  a1
16.  (M  start  f)  =  (F  f)
17.  start  \mleq{}  start
18.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
19.  g  =  f
20.  (F  f)  =  (M  start  g)
\mvdash{}  (F  g)  =  (F  f)


By

---

Latex:
(DupHyp  (-1)
  THEN  (ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}Z  is  an  integer\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}\mBbbP{}\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  5  With  \mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index