---

Step * 2 2 1 of Lemma KleeneSearch_wf


1. T : {T:Type| (T ⊆r ℕ) ∧ (↓T)} 
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. f : ℕ ⟶ T
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
5. ∀f:ℕ ⟶ T
     ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
     ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
     ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
6. n : ℕ
7. (M n f) = (F f) ∈ ℕ
8. ∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer
9. ∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)
10. d : ℕ
11. ∀d:ℕd. ∀start:ℕ.
      ((n ≤ (start + d))
      ⇒ (KleeneSearch(M;f;start) ∈ {m:ℕ| (start ≤ m) ∧ (∀g:ℕ ⟶ T. ((g = f ∈ (ℕm ⟶ T)) ⇒ ((F g) = (F f) ∈ ℤ)))} ))
12. start : ℕ
13. n ≤ (start + d)
14. a2 : ℕ
15. a3 : ℕ
16. 0 < d
17. KleeneSearch(M;f;imax(a2;start + 1)) ∈ {m:ℕ| 
                                            (imax(a2;start + 1) ≤ m)
                                            ∧ (∀g:ℕ ⟶ T. ((g = f ∈ (ℕm ⟶ T)) ⇒ ((F g) = (F f) ∈ ℤ)))} 
⊢ KleeneSearch(M;f;imax(a2;start + 1)) ∈ {m:ℕ| (start ≤ m) ∧ (∀g:ℕ ⟶ T. ((g = f ∈ (ℕm ⟶ T)) ⇒ ((F g) = (F f) ∈ ℤ)))} 
BY
{ ((DoSubsume THEN Auto) THEN (D 0 THENA Auto) THEN D -1 THEN MemTypeCD THEN Auto) }

1
1. T : {T:Type| (T ⊆r ℕ) ∧ (↓T)} 
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. f : ℕ ⟶ T
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
5. ∀f:ℕ ⟶ T
     ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
     ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
     ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
6. n : ℕ
7. (M n f) = (F f) ∈ ℕ
8. ∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer
9. ∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)
10. d : ℕ
11. ∀d:ℕd. ∀start:ℕ.
      ((n ≤ (start + d))
      ⇒ (KleeneSearch(M;f;start) ∈ {m:ℕ| (start ≤ m) ∧ (∀g:ℕ ⟶ T. ((g = f ∈ (ℕm ⟶ T)) ⇒ ((F g) = (F f) ∈ ℤ)))} ))
12. start : ℕ
13. n ≤ (start + d)
14. a2 : ℕ
15. a3 : ℕ
16. 0 < d
17. KleeneSearch(M;f;imax(a2;start + 1)) ∈ {m:ℕ| 
                                            (imax(a2;start + 1) ≤ m)
                                            ∧ (∀g:ℕ ⟶ T. ((g = f ∈ (ℕm ⟶ T)) ⇒ ((F g) = (F f) ∈ ℤ)))} 
18. KleeneSearch(M;f;imax(a2;start + 1))
= KleeneSearch(M;f;imax(a2;start + 1))
∈ {m:ℕ| (imax(a2;start + 1) ≤ m) ∧ (∀g:ℕ ⟶ T. ((g = f ∈ (ℕm ⟶ T)) ⇒ ((F g) = (F f) ∈ ℤ)))} 
19. x : ℕ
20. imax(a2;start + 1) ≤ x
21. ∀g:ℕ ⟶ T. ((g = f ∈ (ℕx ⟶ T)) ⇒ ((F g) = (F f) ∈ ℤ))
⊢ start ≤ x

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  \{T:Type|  (T  \msubseteq{}r  \mBbbN{})  \mwedge{}  (\mdownarrow{}T)\} 
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
4.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  \mcup{}  (\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{}))
5.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
          ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (F  f)))
          \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (F  f)  supposing  M  n  f  is  an  integer)
          \mwedge{}  (\mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  M  n  f  is  an  integer  {}\mRightarrow{}  M  m  f  is  an  integer)))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  (M  n  f)  =  (F  f)
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (F  f)  supposing  M  n  f  is  an  integer
9.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  M  n  f  is  an  integer  {}\mRightarrow{}  M  m  f  is  an  integer)
10.  d  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}d:\mBbbN{}d.  \mforall{}start:\mBbbN{}.
            ((n  \mleq{}  (start  +  d))
            {}\mRightarrow{}  (KleeneSearch(M;f;start)  \mmember{}  \{m:\mBbbN{}|  (start  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (\mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  ((g  =  f)  {}\mRightarrow{}  ((F  g)  =  (F  f))))\}  )\000C)
12.  start  :  \mBbbN{}
13.  n  \mleq{}  (start  +  d)
14.  a2  :  \mBbbN{}
15.  a3  :  \mBbbN{}
16.  0  <  d
17.  KleeneSearch(M;f;imax(a2;start  +  1))  \mmember{}  \{m:\mBbbN{}| 
                                                                                        (imax(a2;start  +  1)  \mleq{}  m)
                                                                                        \mwedge{}  (\mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  ((g  =  f)  {}\mRightarrow{}  ((F  g)  =  (F  f))))\} 
\mvdash{}  KleeneSearch(M;f;imax(a2;start  +  1))  \mmember{}  \{m:\mBbbN{}| 
                                                                                    (start  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (\mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  ((g  =  f)  {}\mRightarrow{}  ((F  g)  =  (F  f))))\} 


By

---

Latex:
((DoSubsume  THEN  Auto)  THEN  (D  0  THENA  Auto)  THEN  D  -1  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto)

---

Home Index