---

Step * 1 1 of Lemma decidable-finite-cantor

.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(R[x;y])
4. n : ℕ
5. F : (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ T
⊢ ∀d:ℕ. ∀s,t:𝔹 List.
    (Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                                  in (∀i:ℕn - d. f i = s[i]) ∧ (∀i:ℕn - d. g i = t[i]) ∧ R[F f;F g]])) supposing 
       ((||t|| = (n - d) ∈ ℤ) and 
       (||s|| = (n - d) ∈ ℤ))
BY
{ TACTIC:(InductionOnNat THEN Auto) }

1
.....decidable?..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(R[x;y])
4. n : ℕ
5. F : (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ T
6. s : 𝔹 List
7. t : 𝔹 List
8. ||s|| = (n - 0) ∈ ℤ
9. ||t|| = (n - 0) ∈ ℤ
⊢ Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕn - 0. f i = s[i]) ∧ (∀i:ℕn - 0. g i = t[i]) ∧ R[F f;F g]])

2
.....decidable?..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(R[x;y])
4. n : ℕ
5. F : (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ T
6. d : ℤ
7. [%2] : 0 < d
8. ∀s,t:𝔹 List.
     (Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                                   in (∀i:ℕn - d - 1. f i = s[i])
                                      ∧ (∀i:ℕn - d - 1. g i = t[i])
                                      ∧ R[F f;F g]])) supposing 
        ((||t|| = (n - d - 1) ∈ ℤ) and 
        (||s|| = (n - d - 1) ∈ ℤ))
9. s : 𝔹 List
10. t : 𝔹 List
11. ||s|| = (n - d) ∈ ℤ
12. ||t|| = (n - d) ∈ ℤ
⊢ Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕn - d. f i = s[i]) ∧ (∀i:ℕn - d. g i = t[i]) ∧ R[F f;F g]])

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}x,y:T.    Dec(R[x;y])
4.  n  :  \mBbbN{}
5.  F  :  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  T
\mvdash{}  \mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}s,t:\mBbbB{}  List.
        (Dec(\mexists{}fg:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  [let  f,g  =  fg 
                                                                    in  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  d.  f  i  =  s[i])
                                                                          \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  d.  g  i  =  t[i])
                                                                          \mwedge{}  R[F  f;F  g]]))  supposing 
              ((||t||  =  (n  -  d))  and 
              (||s||  =  (n  -  d)))


By

---

Latex:
TACTIC:(InductionOnNat  THEN  Auto)

---

Home Index