---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma decidable-finite-cantor


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(R[x;y])
4. n : ℕ
5. F : (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ T
6. d : ℤ
7. [%2] : 0 < d
8. ∀s,t:𝔹 List.
     (Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                                   in (∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s[i])
                                      ∧ (∀i:ℕ(n - d) + 1. g i = t[i])
                                      ∧ R[F f;F g]])) supposing 
        ((||t|| = ((n - d) + 1) ∈ ℤ) and 
        (||s|| = ((n - d) + 1) ∈ ℤ))
9. s : 𝔹 List
10. t : 𝔹 List
11. ||s|| = (n - d) ∈ ℤ
12. ||t|| = (n - d) ∈ ℤ
13. n - d ∈ ℕn
14. ((n - d) + 1) ≤ n
15. ℕ(n - d) + 1 ⊆r ℕn
16. ¬(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [tt][i])
                                  ∧ (∀i:ℕ(n - d) + 1. g i = t @ [ff][i])
                                  ∧ R[F f;F g]])
17. ¬(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [ff][i])
                                  ∧ (∀i:ℕ(n - d) + 1. g i = t @ [tt][i])
                                  ∧ R[F f;F g]])
18. ¬(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [ff][i])
                                  ∧ (∀i:ℕ(n - d) + 1. g i = t @ [ff][i])
                                  ∧ R[F f;F g]])
⊢ Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕn - d. f i = s[i]) ∧ (∀i:ℕn - d. g i = t[i]) ∧ R[F f;F g]])
BY
{ TACTIC:((InstHyp [⌜s @ [tt]⌝;⌜t @ [tt]⌝] 8⋅ THENA Auto)
          THEN D -1
          THEN Try (((OrLeft THENA Auto)
                     THEN ParallelLast
                     THEN D -2
                     THEN All Reduce
                     THEN RepeatFor 3 (ParallelLast)
                     THEN RWW "select_append_front" (-1)
                     THEN Auto))) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(R[x;y])
4. n : ℕ
5. F : (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ T
6. d : ℤ
7. [%2] : 0 < d
8. ∀s,t:𝔹 List.
     (Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                                   in (∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s[i])
                                      ∧ (∀i:ℕ(n - d) + 1. g i = t[i])
                                      ∧ R[F f;F g]])) supposing 
        ((||t|| = ((n - d) + 1) ∈ ℤ) and 
        (||s|| = ((n - d) + 1) ∈ ℤ))
9. s : 𝔹 List
10. t : 𝔹 List
11. ||s|| = (n - d) ∈ ℤ
12. ||t|| = (n - d) ∈ ℤ
13. n - d ∈ ℕn
14. ((n - d) + 1) ≤ n
15. ℕ(n - d) + 1 ⊆r ℕn
16. ¬(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [tt][i])
                                  ∧ (∀i:ℕ(n - d) + 1. g i = t @ [ff][i])
                                  ∧ R[F f;F g]])
17. ¬(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [ff][i])
                                  ∧ (∀i:ℕ(n - d) + 1. g i = t @ [tt][i])
                                  ∧ R[F f;F g]])
18. ¬(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [ff][i])
                                  ∧ (∀i:ℕ(n - d) + 1. g i = t @ [ff][i])
                                  ∧ R[F f;F g]])
19. ¬(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [tt][i])
                                  ∧ (∀i:ℕ(n - d) + 1. g i = t @ [tt][i])
                                  ∧ R[F f;F g]])
⊢ Dec(∃fg:ℕn ⟶ 𝔹 × (ℕn ⟶ 𝔹) [let f,g = fg 
                               in (∀i:ℕn - d. f i = s[i]) ∧ (∀i:ℕn - d. g i = t[i]) ∧ R[F f;F g]])

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}x,y:T.    Dec(R[x;y])
4.  n  :  \mBbbN{}
5.  F  :  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  T
6.  d  :  \mBbbZ{}
7.  [\%2]  :  0  <  d
8.  \mforall{}s,t:\mBbbB{}  List.
          (Dec(\mexists{}fg:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  [let  f,g  =  fg 
                                                                      in  (\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  f  i  =  s[i])
                                                                            \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  g  i  =  t[i])
                                                                            \mwedge{}  R[F  f;F  g]]))  supposing 
                ((||t||  =  ((n  -  d)  +  1))  and 
                (||s||  =  ((n  -  d)  +  1)))
9.  s  :  \mBbbB{}  List
10.  t  :  \mBbbB{}  List
11.  ||s||  =  (n  -  d)
12.  ||t||  =  (n  -  d)
13.  n  -  d  \mmember{}  \mBbbN{}n
14.  ((n  -  d)  +  1)  \mleq{}  n
15.  \mBbbN{}(n  -  d)  +  1  \msubseteq{}r  \mBbbN{}n
16.  \mneg{}(\mexists{}fg:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  [let  f,g  =  fg 
                                                              in  (\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  f  i  =  s  @  [tt][i])
                                                                    \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  g  i  =  t  @  [ff][i])
                                                                    \mwedge{}  R[F  f;F  g]])
17.  \mneg{}(\mexists{}fg:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  [let  f,g  =  fg 
                                                              in  (\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  f  i  =  s  @  [ff][i])
                                                                    \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  g  i  =  t  @  [tt][i])
                                                                    \mwedge{}  R[F  f;F  g]])
18.  \mneg{}(\mexists{}fg:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  [let  f,g  =  fg 
                                                              in  (\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  f  i  =  s  @  [ff][i])
                                                                    \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  g  i  =  t  @  [ff][i])
                                                                    \mwedge{}  R[F  f;F  g]])
\mvdash{}  Dec(\mexists{}fg:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  [let  f,g  =  fg 
                                                              in  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  d.  f  i  =  s[i])  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  d.  g  i  =  t[i])  \mwedge{}  R[F  f;F  g]])


By

---

Latex:
TACTIC:((InstHyp  [\mkleeneopen{}s  @  [tt]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}t  @  [tt]\mkleeneclose{}]  8\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  D  -1
                THEN  Try  (((OrLeft  THENA  Auto)
                                      THEN  ParallelLast
                                      THEN  D  -2
                                      THEN  All  Reduce
                                      THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast)
                                      THEN  RWW  "select\_append\_front"  (-1)
                                      THEN  Auto)))

---

Home Index