---

Step * 1 1 3 2 of Lemma gen-bar-rec


1. P : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ@i'
2. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. P[n + 1;s.m@n]) ⇒ P[n;s])@i
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. P[m;f])@i
4. M : n:ℕ ⟶ s:(ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (k:ℕn × (∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;s;0)])?)@i
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       ∃p:∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;f;0)]
        (((M n f) = (inl <k, p>) ∈ (k:ℕn × (∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;f;0)])?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))\000C))
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ ℕ
8. w : ∀m:ℕ
         (spector-bar-rec(λn,s. if M n s then 0 else n + 1 fi ;λn,s. case M n s
                                                                 of inl(x) =>
                                                                 let k,F = x 
                                                                 in F n
                                                                 | inr(x) =>
                                                                 ⊥;ind;n + 1;λx.if x=n then m else (s x))
          ∈ P[n + 1;λx.if x=n then m else (s x)])
9. y : Unit@i
10. (M n s) = (inr y ) ∈ (k:ℕn × (∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;s;0)])?)
⊢ ind n s 
  (λt.spector-bar-rec(λn,s. if M n s then 0 else n + 1 fi ;λn,s. case M n s of inl(x) => let k,F = x in F n | inr(x) => \000C⊥;ind;n
      + 1;s.t@n)) ∈ P[n;s]
BY
{ (Auto THEN InstHyp [⌜t⌝] (-4)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
2.  ind  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  P[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  P[n;s])@i
3.  bar  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  P[m;f])@i
4.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  s:(\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (k:\mBbbN{}n  \mtimes{}  (\mforall{}m:\{k...\}.  P[m;ext2Baire(n;s;0)])?)@i
5.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mexists{}n:\mBbbN{}
            \mexists{}k:\mBbbN{}n
              \mexists{}p:\mforall{}m:\{k...\}.  P[m;ext2Baire(n;f;0)]
                (((M  n  f)  =  (inl  <k,  p>))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
8.  w  :  \mforall{}m:\mBbbN{}
                  (spector-bar-rec(\mlambda{}n,s.  if  M  n  s  then  0  else  n  +  1  fi  ;\mlambda{}n,s.  case  M  n  s
                                                                                                                                  of  inl(x)  =>
                                                                                                                                  let  k,F  =  x 
                                                                                                                                  in  F  n
                                                                                                                                  |  inr(x)  =>
                                                                                                                                  \mbot{};ind;n
                    +  1;\mlambda{}x.if  x=n  then  m  else  (s  x))  \mmember{}  P[n  +  1;\mlambda{}x.if  x=n  then  m  else  (s  x)])
9.  y  :  Unit@i
10.  (M  n  s)  =  (inr  y  )
\mvdash{}  ind  n  s 
    (\mlambda{}t.spector-bar-rec(\mlambda{}n,s.  if  M  n  s  then  0  else  n  +  1  fi  ;\mlambda{}n,s.  case  M  n  s
                                                                                                                          of  inl(x)  =>
                                                                                                                          let  k,F  =  x 
                                                                                                                          in  F  n
                                                                                                                          |  inr(x)  =>
                                                                                                                          \mbot{};ind;n  +  1;s.t@n))  \mmember{}  P[n;s]


By

---

Latex:
(Auto  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}t\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index