---

Step * 1 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma general-fan-theorem-troelstra


1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ@i'
2. F : ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (X n f)@i
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)@i
4. G : ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))@i
5. k : ℕ
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. (↑(∃x<n + 1.isl(M x f) ∧b if (outl(M x f)) < (n + 1)  then tt  else ff)_b)
7. f : ℕ ⟶ 𝔹@i
8. n : ℕk
9. x : ℕn + 1
10. ↑isl(M x f)
11. ↑if (outl(M x f)) < (n + 1)  then tt  else ff
⊢ ∃n:ℕk. (X n f)
BY
{ ((InstHyp [⌜f⌝] (-8)⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (InstHyp [⌜x⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN RevHypSubst' (-1) (-3)
   THEN RevHypSubst' (-1) (-2)
   THEN ThinVar `n1') }

1
1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ@i'
2. F : ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (X n f)@i
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)@i
4. G : ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (fst((F f)))) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))@i
5. k : ℕ
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. (↑(∃x<n + 1.isl(M x f) ∧b if (outl(M x f)) < (n + 1)  then tt  else ff)_b)
7. f : ℕ ⟶ 𝔹@i
8. n : ℕk
9. x : ℕn + 1
10. ↑isl(M x f)
11. ↑if (outl(M x f)) < (n + 1)  then tt  else ff
12. (M x f) = (inl (fst((F f)))) ∈ (ℕ?)
13. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = x ∈ ℕ))
⊢ ∃n:ℕk. (X n f)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
2.  F  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (X  n  f)@i
3.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)@i
4.  G  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (fst((F  f)))))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))))@i
5.  k  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}(\mexists{}x<n  +  1.isl(M  x  f)  \mwedge{}\msubb{}  if  (outl(M  x  f))  <  (n  +  1)    then  tt    else  ff)\_b)
7.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
8.  n  :  \mBbbN{}k
9.  x  :  \mBbbN{}n  +  1
10.  \muparrow{}isl(M  x  f)
11.  \muparrow{}if  (outl(M  x  f))  <  (n  +  1)    then  tt    else  ff
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  (X  n  f)


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]  (-8)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RevHypSubst'  (-1)  (-3)
  THEN  RevHypSubst'  (-1)  (-2)
  THEN  ThinVar  `n1')

---

Home Index