---

Step * of Lemma monotone-bar-induction-strict3

∀B,Q:n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ.
  ((∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
      (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ B[n + 1;s.m@n]))))
  ⇒ (∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s])))
  ⇒ (∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
        ((∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ ⇃(Q[n + 1;s.m@n]))) ⇒ ⇃(Q[n;s])))
  ⇒ (∀alpha:StrictInc. ⇃(∃m:ℕ. B[m;alpha]))
  ⇒ ⇃(Q[0;λx.⊥]))
BY
{ (Auto
   THEN (RWO "all-quotient-true" (-1) THENA EAuto 2)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN BLemma `implies-quotient-true2`
   THEN Auto) }

1
1. B : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ@i'
2. Q : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ@i'
3. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ B[n + 1;s.m@n])))@i
4. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))@i
5. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     ((∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ ⇃(Q[n + 1;s.m@n]))) ⇒ ⇃(Q[n;s]))@i
⊢ λx.⊥ ∈ {s:ℕ0 ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(0;s)} 

2
1. B : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ@i'
2. Q : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ@i'
3. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ B[n + 1;s.m@n])))@i
4. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))@i
5. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     ((∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ ⇃(Q[n + 1;s.m@n]))) ⇒ ⇃(Q[n;s]))@i
6. ∀alpha:StrictInc. ∃m:ℕ. B[m;alpha]@i
⊢ ⇃(Q[0;λx.⊥])

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}B,Q:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
    ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}  .
            (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  (strictly-increasing-seq(n  +  1;s.m@n)  {}\mRightarrow{}  B[n  +  1;s.m@n]))))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}  .    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}  .
                ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  (strictly-increasing-seq(n  +  1;s.m@n)  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n  +  1;s.m@n])))  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}alpha:StrictInc.  \00D9(\mexists{}m:\mBbbN{}.  B[m;alpha]))
    {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}]))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (RWO  "all-quotient-true"  (-1)  THENA  EAuto  2)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  BLemma  `implies-quotient-true2`
  THEN  Auto)

---

Home Index