---

Step * 1 3 of Lemma monotone-bar-induction-strict


1. B : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ B[n + 1;s.m@n])))
4. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     ((∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ (↓Q[n + 1;s.m@n]))) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:StrictInc. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. n : ℕ
8. s : ℕn ⟶ ℕ
9. ∀m:ℕ. (↓strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ Q[n + 1;s.m@n])
⊢ ↓strictly-increasing-seq(n;s) ⇒ Q[n;s]
BY
{ (Decide strictly-increasing-seq(n;s) THENA Auto) }

1
1. B : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ B[n + 1;s.m@n])))
4. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     ((∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ (↓Q[n + 1;s.m@n]))) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:StrictInc. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. n : ℕ
8. s : ℕn ⟶ ℕ
9. ∀m:ℕ. (↓strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ Q[n + 1;s.m@n])
10. strictly-increasing-seq(n;s)
⊢ ↓strictly-increasing-seq(n;s) ⇒ Q[n;s]

2
1. B : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)}  ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ B[n + 1;s.m@n])))
4. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:{s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} .
     ((∀m:ℕ. (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ (↓Q[n + 1;s.m@n]))) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:StrictInc. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. n : ℕ
8. s : ℕn ⟶ ℕ
9. ∀m:ℕ. (↓strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n) ⇒ Q[n + 1;s.m@n])
10. ¬strictly-increasing-seq(n;s)
⊢ ↓strictly-increasing-seq(n;s) ⇒ Q[n;s]

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}  .
          (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  (strictly-increasing-seq(n  +  1;s.m@n)  {}\mRightarrow{}  B[n  +  1;s.m@n])))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}  .    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[n;s]))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\}  .
          ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  (strictly-increasing-seq(n  +  1;s.m@n)  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[n  +  1;s.m@n])))  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[n;s]))
6.  \mforall{}alpha:StrictInc.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  B[m;alpha]
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  (\mdownarrow{}strictly-increasing-seq(n  +  1;s.m@n)  {}\mRightarrow{}  Q[n  +  1;s.m@n])
\mvdash{}  \mdownarrow{}strictly-increasing-seq(n;s)  {}\mRightarrow{}  Q[n;s]


By

---

Latex:
(Decide  strictly-increasing-seq(n;s)  THENA  Auto)

---

Home Index