---

Step * of Lemma monotone-bar-induction1

∀[B,Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ].
  ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n])))
  ⇒ (∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s])))
  ⇒ (∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. (↓Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ (↓Q[n;s])))
  ⇒ (∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ∃m:ℕ. B[m;alpha])
  ⇒ (↓Q[0;λx.⊥]))
BY
{ (Auto
   THEN (Skolemize (-1) `F' THENA Auto)
   THEN (InstLemma `strong-continuity-implies3` [⌜F⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN ExRepD
   THEN InstLemma `basic_bar_induction` [⌜ℕ⌝;⌜λ2n f.↑isl(M n f)⌝;⌜λ2n s.↓Q[n;s]⌝]⋅
   THEN Auto) }

1
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. (↓Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. F : alpha:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
8. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. B[F alpha;alpha]
9. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
10. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))))
11. n : ℕ
12. s : ℕn ⟶ ℕ
13. ↑isl(M n s)
⊢ ↓Q[n;s]

2
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. (↓Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. F : alpha:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
8. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. B[F alpha;alpha]
9. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
10. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))))
11. n : ℕ
12. s : ℕn ⟶ ℕ
13. ∀t:ℕ. (↓Q[n + 1;s++t])
⊢ ↓Q[n;s]

3
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. (↓Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. F : alpha:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
8. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. B[F alpha;alpha]
9. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
10. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))))
11. alpha : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ↓∃m:ℕ. (↑isl(M m alpha))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[B,Q:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  B[n  +  1;s.m@n])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[n;s])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  (\mdownarrow{}Q[n  +  1;s.m@n]))  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[n;s])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  B[m;alpha])
    {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}]))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (Skolemize  (-1)  `F'  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `strong-continuity-implies3`  [\mkleeneopen{}F\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  ExRepD
  THEN  InstLemma  `basic\_bar\_induction`  [\mkleeneopen{}\mBbbN{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n  f.\muparrow{}isl(M  n  f)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n  s.\mdownarrow{}Q[n;s]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index