---

Step * of Lemma monotone-bar-induction4

∀B,Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ.
  ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s])))
  ⇒ (∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s])))
  ⇒ (∀alpha:ℕ ⟶ ℕ
        ⇃(∃n:ℕ. (B[n;alpha] ∧ (∀m:{n...}. ∀s:ℕm ⟶ ℕ.  ((alpha = s ∈ (ℕm ⟶ ℕ)) ⇒ B[m;s] ⇒ (∀k:ℕ. B[m + 1;s.k@m]))))))
  ⇒ ⇃(Q[0;λx.⊥]))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto)
   THEN RenameVar `bar' (-1)
   THEN (InstLemma `strong-continuity-rel` [⌜λf,n. ((B n f)
                                                  ∧ (∀m:{n...}. ∀s:ℕm ⟶ ℕ.
                                                       ((f = s ∈ (ℕm ⟶ ℕ)) ⇒ B[m;s] ⇒ (∀k:ℕ. B[m + 1;s.k@m]))))⌝;⌜bar\000C⌝]⋅
         THENA Auto
         )
   THEN (BLemma `prop-truncation-quot` THENA Auto)
   THEN AllReduce) }

1
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s]))
5. bar : ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ
           ⇃(∃n:ℕ
              (B[n;alpha] ∧ (∀m:{n...}. ∀s:ℕm ⟶ ℕ.  ((alpha = s ∈ (ℕm ⟶ ℕ)) ⇒ B[m;s] ⇒ (∀k:ℕ. B[m + 1;s.k@m])))))
6. ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
      ∀f:ℕ ⟶ ℕ
        ∃n:ℕ
         ∃k:ℕn
          (((B k f) ∧ (∀m:{k...}. ∀s:ℕm ⟶ ℕ.  ((f = s ∈ (ℕm ⟶ ℕ)) ⇒ B[m;s] ⇒ (∀k:ℕ. B[m + 1;s.k@m]))))
          ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
          ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?))))))
⊢ ⇃(⇃(Q[0;λx.⊥]))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}B,Q:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
    ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  \00D9(Q[n  +  1;s.m@n]))  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}
                      (B[n;alpha]
                      \mwedge{}  (\mforall{}m:\{n...\}.  \mforall{}s:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((alpha  =  s)  {}\mRightarrow{}  B[m;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k:\mBbbN{}.  B[m  +  1;s.k@m]))))))
    {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}]))


By

---

Latex:
((UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RenameVar  `bar'  (-1)
  THEN  (InstLemma  `strong-continuity-rel`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}f,n.  ((B  n  f)
                                                                                                \mwedge{}  (\mforall{}m:\{n...\}.  \mforall{}s:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.
                                                                                                          ((f  =  s)  {}\mRightarrow{}  B[m;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k:\mBbbN{}.  B[m  +  1;s.k@m]))))\000C\mkleeneclose{};
              \mkleeneopen{}bar\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  (BLemma  `prop-truncation-quot`  THENA  Auto)
  THEN  AllReduce)

---

Home Index