---

Step * 1 2 of Lemma monotone-bar-induction5


1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s]))
5. bar : ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. (B[n;alpha] ∧ (∀m:{n...}. (B[m;alpha] ⇒ B[m + 1;alpha]))))
6. ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
      ∀f:ℕ ⟶ ℕ
        ∃n:ℕ
         ∃k:ℕn
          (((B k f) ∧ (∀m:{k...}. (B[m;f] ⇒ B[m + 1;f])))
          ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
          ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?))))))
7. (∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
     ∀f:ℕ ⟶ ℕ
       ∃n:ℕ
        ∃k:ℕn
         (((B k f) ∧ (∀m:{k...}. (B[m;f] ⇒ B[m + 1;f])))
         ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
         ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?))))))
⇒ ⇃(Q[0;λx.⊥])
⊢ ⇃(⇃(Q[0;λx.⊥]))
BY
{ (RenameVar `f' (-1)
   THEN RenameVar `M' (-2)
   THEN UseWitness ⌜f M⌝⋅
   THEN newQuotientElim1 (-2)
   THEN Try (CompleteAuto)) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  \00D9(Q[n  +  1;s.m@n]))  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
5.  bar  :  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (B[n;alpha]  \mwedge{}  (\mforall{}m:\{n...\}.  (B[m;alpha]  {}\mRightarrow{}  B[m  +  1;alpha]))))
6.  \00D9(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
            \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                \mexists{}n:\mBbbN{}
                  \mexists{}k:\mBbbN{}n
                    (((B  k  f)  \mwedge{}  (\mforall{}m:\{k...\}.  (B[m;f]  {}\mRightarrow{}  B[m  +  1;f])))
                    \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  k))
                    \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  k))))))
7.  (\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
          \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
              \mexists{}n:\mBbbN{}
                \mexists{}k:\mBbbN{}n
                  (((B  k  f)  \mwedge{}  (\mforall{}m:\{k...\}.  (B[m;f]  {}\mRightarrow{}  B[m  +  1;f])))
                  \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  k))
                  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  k))))))
{}\mRightarrow{}  \00D9(Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}])
\mvdash{}  \00D9(\00D9(Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}]))


By

---

Latex:
(RenameVar  `f'  (-1)
  THEN  RenameVar  `M'  (-2)
  THEN  UseWitness  \mkleeneopen{}f  M\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  newQuotientElim1  (-2)
  THEN  Try  (CompleteAuto))

---

Home Index