---

Step * 1 of Lemma monotone-bar-induction8-2


1. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       (((λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) f k)
       ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
       ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
⊢ Q[0;λx.⊥]
BY
{ (InstLemma `basic_bar_induction` [⌜ℕ⌝;⌜λ2n f.↑isl(M n f)⌝;⌜Q⌝]⋅ THEN Auto) }

1
1. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       (((λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) f k)
       ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
       ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ ℕ
8. ↑isl(M n s)
⊢ Q[n;s]

2
1. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       (((λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) f k)
       ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
       ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ ℕ
8. ∀t:ℕ. Q[n + 1;s++t]
⊢ Q[n;s]

3
1. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       (((λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) f k)
       ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
       ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
6. alpha : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ↓∃m:ℕ. (↑isl(M m alpha))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])
3.  bar  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  Q[m;f])
4.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
5.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mexists{}n:\mBbbN{}
            \mexists{}k:\mBbbN{}n
              (((\mlambda{}f,n.  \mforall{}m:\{n...\}.  Q[m;f])  f  k)
              \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  k))
              \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  k)))))
\mvdash{}  Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}]


By

---

Latex:
(InstLemma  `basic\_bar\_induction`  [\mkleeneopen{}\mBbbN{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n  f.\muparrow{}isl(M  n  f)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}Q\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index