---

Step * 1 1 2 1 of Lemma seq-cont-nat


1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. f : ℕ ⟶ ℕ
3. g : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℕ
4. ∀k:ℕ. ∃n:ℕ. ∀m:{n...}. ((g m) = f ∈ (ℕk ⟶ ℕ))
5. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
6. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
7. n : ℕ
8. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
9. ∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)
10. n@0 : ℕ
11. ∀m:{n@0...}. ((g m) = f ∈ (ℕn ⟶ ℕ))
12. m : {n@0...}
13. (g m) = f ∈ (ℕn ⟶ ℕ)
14. (inl (F (g m))) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
15. (inl (F (g m))) = (inl (F f)) ∈ {z:ℕ?| (z = (inl (F (g m))) ∈ (ℕ?)) ∧ (z = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))} 
⊢ (F (g m)) = (F f) ∈ ℕ
BY
{ (ApFunToHypEquands `Z' ⌜outl(Z)⌝ ⌜ℕ⌝ (-1)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  ((g  m)  =  f)
5.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
6.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f)))
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f)
10.  n@0  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}m:\{n@0...\}.  ((g  m)  =  f)
12.  m  :  \{n@0...\}
13.  (g  m)  =  f
14.  (inl  (F  (g  m)))  =  (inl  (F  f))
15.  (inl  (F  (g  m)))  =  (inl  (F  f))
\mvdash{}  (F  (g  m))  =  (F  f)


By

---

Latex:
(ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}outl(Z)\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}\mBbbN{}\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index