---

Step * 1 of Lemma strong-continuity-rel


1. P : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. ⇃(∃F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (P f (F f)))
⊢ ⇃(⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
       ∀f:ℕ ⟶ ℕ
         ∃n:ℕ. ∃k:ℕn. ((P f k) ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))))
BY
{ Assert ⌜(∃F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (P f (F f)))
          ⇒ ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
                ∀f:ℕ ⟶ ℕ
                  ∃n:ℕ
                   ∃k:ℕn
                    ((P f k) ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?))))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. P : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. ⇃(∃F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (P f (F f)))
⊢ (∃F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (P f (F f)))
⇒ ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
      ∀f:ℕ ⟶ ℕ
        ∃n:ℕ. ∃k:ℕn. ((P f k) ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?))))))

2
1. P : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. ⇃(∃F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (P f (F f)))
3. (∃F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (P f (F f)))
⇒ ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
      ∀f:ℕ ⟶ ℕ
        ∃n:ℕ. ∃k:ℕn. ((P f k) ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?))))))
⊢ ⇃(⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
       ∀f:ℕ ⟶ ℕ
         ∃n:ℕ. ∃k:ℕn. ((P f k) ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \00D9(\mexists{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  (P  f  (F  f)))
\mvdash{}  \00D9(\00D9(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
              \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                  \mexists{}n:\mBbbN{}
                    \mexists{}k:\mBbbN{}n.  ((P  f  k)  \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  k))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  k)))))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(\mexists{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  (P  f  (F  f)))
                {}\mRightarrow{}  \00D9(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
                            \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                                \mexists{}n:\mBbbN{}
                                  \mexists{}k:\mBbbN{}n
                                    ((P  f  k)  \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  k))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  k))))))\mkleeneclose{}
\mcdot{}

---

Home Index