---

Step * 1 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma strong-continuity2-no-inner-squash-bound


1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
3. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
5. f : ℕ ⟶ ℕ
6. n : ℕ
7. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
8. ∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)
⊢ F f < imax(n;F f) + 1
∧ (case d (imax(n;F f) + 1) f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
∧ (∀m:ℕ
     ((↑isl(case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅ ))
     ⇒ (case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))
BY
{ TACTIC:D 0 }

1
1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
3. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
5. f : ℕ ⟶ ℕ
6. n : ℕ
7. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
8. ∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)
⊢ F f < imax(n;F f) + 1

2
1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
3. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
5. f : ℕ ⟶ ℕ
6. n : ℕ
7. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
8. ∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)
⊢ (case d (imax(n;F f) + 1) f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
∧ (∀m:ℕ
     ((↑isl(case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅ ))
     ⇒ (case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
3.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f)))
4.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    Dec(\mexists{}i:\mBbbN{}n.  ((\muparrow{}isl(M  i  s))  \mwedge{}  outl(M  i  s)  <  n))
5.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f)
\mvdash{}  F  f  <  imax(n;F  f)  +  1
\mwedge{}  (case  d  (imax(n;F  f)  +  1)  f  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  f  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}    =  (inl  (F  f)))
\mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}
          ((\muparrow{}isl(case  d  m  f  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  f  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  ))
          {}\mRightarrow{}  (case  d  m  f  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  f  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}    =  (inl  (F  f)))))


By

---

Latex:
TACTIC:D  0

---

Home Index