---

Step * 1 2 of Lemma unsquashed-BIM-implies-unsquashed-weak-continuity


1. ∀B,Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ.
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s]))
     ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;f]))
     ⇒ (∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ. ∀m:ℕ.  (B[n;s] ⇒ B[n + 1;s.m@n]))
     ⇒ (∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s]))
     ⇒ Q[0;λx.⊥])
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. a : ℕ ⟶ ℕ
4. f : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ⇃(∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((∀i:ℕn. ((rep-seq-from(f;n;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(f;n;a)) = (F b) ∈ ℕ)))
BY
{ ((InstLemma `strong-continuity2-implies-weak` [⌜F⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ⌜(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
                 ⇒ (∃n:ℕ
                      ∀b:ℕ ⟶ ℕ
                        ((∀i:ℕn. ((rep-seq-from(f;n;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(f;n;a)) = (F b) ∈ ℕ)))⌝⋅
   THENM (FLemma `implies-quotient-true` [-1] THEN Auto)
   )
   THEN Thin (-1)
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. ∀B,Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ.
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s]))
     ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;f]))
     ⇒ (∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ. ∀m:ℕ.  (B[n;s] ⇒ B[n + 1;s.m@n]))
     ⇒ (∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s]))
     ⇒ Q[0;λx.⊥])
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. a : ℕ ⟶ ℕ
4. f : ℕ ⟶ ℕ
5. ∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ))
⊢ ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((∀i:ℕn. ((rep-seq-from(f;n;a) i) = (b i) ∈ ℕ)) ⇒ ((F rep-seq-from(f;n;a)) = (F b) ∈ ℕ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}B,Q:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
          ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s]))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  B[n;f]))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}m:\mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  B[n  +  1;s.m@n]))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  Q[n;s]))
          {}\mRightarrow{}  Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}])
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}
          \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((rep-seq-from(f;n;a)  i)  =  (b  i)))  {}\mRightarrow{}  ((F  rep-seq-from(f;n;a))  =  (F  b))))


By

---

Latex:
((InstLemma  `strong-continuity2-implies-weak`  [\mkleeneopen{}F\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g))))
                              {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}
                                        \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                                            ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  ((rep-seq-from(f;n;a)  i)  =  (b  i)))
                                            {}\mRightarrow{}  ((F  rep-seq-from(f;n;a))  =  (F  b))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (FLemma  `implies-quotient-true`  [-1]  THEN  Auto)
  )
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index