---

Step * 1 of Lemma unsquashed-continuity-false-troelstra


1. ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀a:ℕ ⟶ ℕ.  ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((a = b ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F a) = (F b) ∈ ℕ))
2. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ.  ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((a = b ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F a) = (F b) ∈ ℕ))
3. ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((0s = b ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F 0s) = (F b) ∈ ℕ))
4. Phi : F:((ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
5. ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ.  ((0s = b ∈ (ℕPhi F ⟶ ℕ)) ⇒ ((F 0s) = (F b) ∈ ℕ))
⊢ False
BY
{ ((Assert ⌜Phi* (λf.0) ~ 0s^(Phi (λf.0))⌝⋅ THENA (RepUR ``phi-star`` 0 THEN Auto)) THEN RenameVar `n0' (-1)) }

1
1. ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀a:ℕ ⟶ ℕ.  ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((a = b ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F a) = (F b) ∈ ℕ))
2. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ.  ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((a = b ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F a) = (F b) ∈ ℕ))
3. ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∃n:ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ. ((0s = b ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F 0s) = (F b) ∈ ℕ))
4. Phi : F:((ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
5. ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀b:ℕ ⟶ ℕ.  ((0s = b ∈ (ℕPhi F ⟶ ℕ)) ⇒ ((F 0s) = (F b) ∈ ℕ))
6. n0 : Phi* (λf.0) ~ 0s^(Phi (λf.0))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}a:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((a  =  b)  {}\mRightarrow{}  ((F  a)  =  (F  b)))
2.  \mforall{}a:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((a  =  b)  {}\mRightarrow{}  ((F  a)  =  (F  b)))
3.  \mforall{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((0s  =  b)  {}\mRightarrow{}  ((F  0s)  =  (F  b)))
4.  Phi  :  F:((\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
5.  \mforall{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}b:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((0s  =  b)  {}\mRightarrow{}  ((F  0s)  =  (F  b)))
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}Phi*  (\mlambda{}f.0)  \msim{}  0s\^{}(Phi  (\mlambda{}f.0))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  (RepUR  ``phi-star``  0  THEN  Auto))
  THEN  RenameVar  `n0'  (-1)
  )

---

Home Index