---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma weak-continuity-implies-strong1


1. W : ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ⇃(∃M:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. M : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
4. G : ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ))
5. ⇃(∃M@0:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM@0 f ⟶ ℕ)) ⇒ ((M f) = (M g) ∈ ℕ)))
⊢ ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
     ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))
BY
{ Assert ⌜(∃X:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕX f ⟶ ℕ)) ⇒ ((M f) = (M g) ∈ ℕ)))
          ⇒ ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
                ∀f:ℕ ⟶ ℕ
                  ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))
                  ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. W : ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ⇃(∃M:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. M : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
4. G : ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ))
5. ⇃(∃M@0:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM@0 f ⟶ ℕ)) ⇒ ((M f) = (M g) ∈ ℕ)))
⊢ (∃X:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕX f ⟶ ℕ)) ⇒ ((M f) = (M g) ∈ ℕ)))
⇒ ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
      ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))

2
1. W : ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ⇃(∃M:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. M : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
4. G : ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ))
5. ⇃(∃M@0:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM@0 f ⟶ ℕ)) ⇒ ((M f) = (M g) ∈ ℕ)))
6. (∃X:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕX f ⟶ ℕ)) ⇒ ((M f) = (M g) ∈ ℕ)))
⇒ ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
      ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))
⊢ ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
     ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  W  :  \mforall{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}M:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g))))
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  M  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  G  :  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g)))
5.  \00D9(\mexists{}M@0:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((M  f)  =  (M  g))))
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
          \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
              ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(\mexists{}X:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((M  f)  =  (M  g))))
                {}\mRightarrow{}  \00D9(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
                            \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                                ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f))))
                                \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index