---

Step * 2 2 of Lemma weak-continuity-principle-nat+-int-bool-double


1. F : (ℕ+ ⟶ ℤ) ⟶ 𝔹
2. H : (ℕ+ ⟶ ℤ) ⟶ 𝔹
3. f : ℕ+ ⟶ ℤ
4. G : n:ℕ+ ⟶ {g:ℕ+ ⟶ ℤ| f = g ∈ (ℕ+n ⟶ ℤ)} 
5. ⇃(∃n:ℕ
      ∀g:ℕ ⟶ ℤ
        (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ))
        ⇒ (if F (λn.(f ((n - 1) + 1))) then 1 else 0 fi  = if F (λn.(g (n - 1))) then 1 else 0 fi  ∈ ℕ)))
6. ⇃(∃n:ℕ
      ∀g:ℕ ⟶ ℤ
        (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ))
        ⇒ (if H (λn.(f ((n - 1) + 1))) then 1 else 0 fi  = if H (λn.(g (n - 1))) then 1 else 0 fi  ∈ ℕ)))
7. ∃n:ℕ. (F f = F (G (n + 1)) ∧ H f = H (G (n + 1)))
8. mu(λn.(F f =b F (G (n + 1)) ∧b H f =b H (G (n + 1)))) ∈ ℕ
9. F f = F (G (mu(λn.(F f =b F (G (n + 1)) ∧b H f =b H (G (n + 1)))) + 1))
10. ↑(F f =b F (G (mu(λn.(F f =b F (G (n + 1)) ∧b H f =b H (G (n + 1)))) + 1))
∧b H f =b H (G (mu(λn.(F f =b F (G (n + 1)) ∧b H f =b H (G (n + 1)))) + 1)))
11. ∀[i:ℕ]
      ¬↑(F f =b F (G (i + 1)) ∧b H f =b H (G (i + 1))) 
      supposing i < mu(λn.(F f =b F (G (n + 1)) ∧b H f =b H (G (n + 1))))
⊢ H f = H (G (mu(λn.(F f =b F (G (n + 1)) ∧b H f =b H (G (n + 1)))) + 1))
BY
{ (RW assert_pushdownC (-2) THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
2.  H  :  (\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
3.  f  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  G  :  n:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \{g:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}|  f  =  g\} 
5.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}
            \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
                (((\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))  =  g)
                {}\mRightarrow{}  (if  F  (\mlambda{}n.(f  ((n  -  1)  +  1)))  then  1  else  0  fi 
                      =  if  F  (\mlambda{}n.(g  (n  -  1)))  then  1  else  0  fi  )))
6.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}
            \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
                (((\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))  =  g)
                {}\mRightarrow{}  (if  H  (\mlambda{}n.(f  ((n  -  1)  +  1)))  then  1  else  0  fi 
                      =  if  H  (\mlambda{}n.(g  (n  -  1)))  then  1  else  0  fi  )))
7.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (F  f  =  F  (G  (n  +  1))  \mwedge{}  H  f  =  H  (G  (n  +  1)))
8.  mu(\mlambda{}n.(F  f  =b  F  (G  (n  +  1))  \mwedge{}\msubb{}  H  f  =b  H  (G  (n  +  1))))  \mmember{}  \mBbbN{}
9.  F  f  =  F  (G  (mu(\mlambda{}n.(F  f  =b  F  (G  (n  +  1))  \mwedge{}\msubb{}  H  f  =b  H  (G  (n  +  1))))  +  1))
10.  \muparrow{}(F  f  =b  F  (G  (mu(\mlambda{}n.(F  f  =b  F  (G  (n  +  1))  \mwedge{}\msubb{}  H  f  =b  H  (G  (n  +  1))))  +  1))
\mwedge{}\msubb{}  H  f  =b  H  (G  (mu(\mlambda{}n.(F  f  =b  F  (G  (n  +  1))  \mwedge{}\msubb{}  H  f  =b  H  (G  (n  +  1))))  +  1)))
11.  \mforall{}[i:\mBbbN{}]
            \mneg{}\muparrow{}(F  f  =b  F  (G  (i  +  1))  \mwedge{}\msubb{}  H  f  =b  H  (G  (i  +  1))) 
            supposing  i  <  mu(\mlambda{}n.(F  f  =b  F  (G  (n  +  1))  \mwedge{}\msubb{}  H  f  =b  H  (G  (n  +  1))))
\mvdash{}  H  f  =  H  (G  (mu(\mlambda{}n.(F  f  =b  F  (G  (n  +  1))  \mwedge{}\msubb{}  H  f  =b  H  (G  (n  +  1))))  +  1))


By

---

Latex:
(RW  assert\_pushdownC  (-2)  THEN  Auto)

---

Home Index