---

Step * 1 1 of Lemma weak-continuity-principle-nat+-int-nat


1. F : (ℕ+ ⟶ ℤ) ⟶ ℕ
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. G : n:ℕ+ ⟶ {g:ℕ+ ⟶ ℤ| f = g ∈ (ℕ+n ⟶ ℤ)} 
4. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℤ. (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ)) ⇒ ((F (λn.(f ((n - 1) + 1)))) = (F (λn.(g (n - 1)))) ∈ ℕ)))
5. n : ℕ
6. ∀g:ℕ ⟶ ℤ. (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ)) ⇒ ((F (λn.(f ((n - 1) + 1)))) = (F (λn.(g (n - 1)))) ∈ ℕ))
⊢ (F f) = (F (G (n + 1))) ∈ ℕ
BY
{ (InstHyp [⌜λi.(G (n + 1) (i + 1))⌝] (-1)⋅ THENA Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. F : (ℕ+ ⟶ ℤ) ⟶ ℕ
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. G : n:ℕ+ ⟶ {g:ℕ+ ⟶ ℤ| f = g ∈ (ℕ+n ⟶ ℤ)} 
4. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℤ. (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ)) ⇒ ((F (λn.(f ((n - 1) + 1)))) = (F (λn.(g (n - 1)))) ∈ ℕ)))
5. n : ℕ
6. ∀g:ℕ ⟶ ℤ. (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ)) ⇒ ((F (λn.(f ((n - 1) + 1)))) = (F (λn.(g (n - 1)))) ∈ ℕ))
⊢ (λn.(f (n + 1))) = (λi.(G (n + 1) (i + 1))) ∈ (ℕn ⟶ ℤ)

2
1. F : (ℕ+ ⟶ ℤ) ⟶ ℕ
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. G : n:ℕ+ ⟶ {g:ℕ+ ⟶ ℤ| f = g ∈ (ℕ+n ⟶ ℤ)} 
4. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℤ. (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ)) ⇒ ((F (λn.(f ((n - 1) + 1)))) = (F (λn.(g (n - 1)))) ∈ ℕ)))
5. n : ℕ
6. ∀g:ℕ ⟶ ℤ. (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ)) ⇒ ((F (λn.(f ((n - 1) + 1)))) = (F (λn.(g (n - 1)))) ∈ ℕ))
7. (F (λn.(f ((n - 1) + 1)))) = (F (λn@0.((λi.(G (n + 1) (i + 1))) (n@0 - 1)))) ∈ ℕ
⊢ (F f) = (F (G (n + 1))) ∈ ℕ

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  G  :  n:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \{g:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}|  f  =  g\} 
4.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}
            \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  (((\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  (\mlambda{}n.(f  ((n  -  1)  +  1))))  =  (F  (\mlambda{}n.(g  (n  -  1)))))))
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  (((\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  (\mlambda{}n.(f  ((n  -  1)  +  1))))  =  (F  (\mlambda{}n.(g  (n  -  1))))))
\mvdash{}  (F  f)  =  (F  (G  (n  +  1)))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}i.(G  (n  +  1)  (i  +  1))\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index