---

Step * 2 of Lemma weak-continuity-principle-nat+-int-nat


1. F : (ℕ+ ⟶ ℤ) ⟶ ℕ
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. G : n:ℕ+ ⟶ {g:ℕ+ ⟶ ℤ| f = g ∈ (ℕ+n ⟶ ℤ)} 
4. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℤ. (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ)) ⇒ ((F (λn.(f ((n - 1) + 1)))) = (F (λn.(g (n - 1)))) ∈ ℕ)))
5. ↓∃n:ℕ. ((F f) = (F (G (n + 1))) ∈ ℕ)
⊢ ∃n:ℕ+. ((F f) = (F (G n)) ∈ ℕ)
BY
{ ((Assert mu(λn.(F f =z F (G (n + 1)))) ∈ ℕ BY
          (SqExRepD THEN InstLemma `mu_wf` [⌜λn.(F f =z F (G (n + 1)))⌝]⋅ THEN All Reduce THEN Auto))
   THEN D 0 With ⌜mu(λn.(F f =z F (G (n + 1)))) + 1⌝ 
   THEN Auto
   THEN InstLemma `mu-property` [⌜λn.(F f =z F (G (n + 1)))⌝]⋅
   THEN All Reduce
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  G  :  n:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \{g:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}|  f  =  g\} 
4.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}
            \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  (((\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  (\mlambda{}n.(f  ((n  -  1)  +  1))))  =  (F  (\mlambda{}n.(g  (n  -  1)))))))
5.  \mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((F  f)  =  (F  (G  (n  +  1))))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((F  f)  =  (F  (G  n)))


By

---

Latex:
((Assert  mu(\mlambda{}n.(F  f  =\msubz{}  F  (G  (n  +  1))))  \mmember{}  \mBbbN{}  BY
                (SqExRepD  THEN  InstLemma  `mu\_wf`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n.(F  f  =\msubz{}  F  (G  (n  +  1)))\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  All  Reduce  THEN  Auto))
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}mu(\mlambda{}n.(F  f  =\msubz{}  F  (G  (n  +  1))))  +  1\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto
  THEN  InstLemma  `mu-property`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n.(F  f  =\msubz{}  F  (G  (n  +  1)))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  All  Reduce
  THEN  Auto)

---

Home Index