---

Step * 2 1 of Lemma weak-continuity-principle-nat-nat


1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. f : ℕ ⟶ ℕ
3. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
4. G : n:ℕ ⟶ {g:ℕ ⟶ ℕ| f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)} 
5. ↓∃n:ℕ. ((F f) = (F (G n)) ∈ ℕ)
6. mu(λn.(F f =z F (G n))) ∈ ℕ
⊢ ∃n:ℕ. ((F f) = (F (G n)) ∈ ℕ)
BY
{ (D 0 With ⌜mu(λn.(F f =z F (G n)))⌝  THEN Auto) }

1
1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. f : ℕ ⟶ ℕ
3. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
4. G : n:ℕ ⟶ {g:ℕ ⟶ ℕ| f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)} 
5. ∃n:ℕ. ((F f) = (F (G n)) ∈ ℕ)
6. mu(λn.(F f =z F (G n))) ∈ ℕ
⊢ (F f) = (F (G mu(λn.(F f =z F (G n))))) ∈ ℕ

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g))))
4.  G  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  f  =  g\} 
5.  \mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((F  f)  =  (F  (G  n)))
6.  mu(\mlambda{}n.(F  f  =\msubz{}  F  (G  n)))  \mmember{}  \mBbbN{}
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  ((F  f)  =  (F  (G  n)))


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}mu(\mlambda{}n.(F  f  =\msubz{}  F  (G  n)))\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index