---

Step * 1 1 2 1 1 1 of Lemma distinct-representatives


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[A:Type]
       (A ~ ℕk
       ⇒ (∀[E:A ⟶ A ⟶ ℙ]
             (EquivRel(A;x,y.E[x;y])
             ⇒ (∀x,y:A.  Dec(E[x;y]))
             ⇒ (∃L:A List. ((∀a,b∈L.  ¬E[a;b]) ∧ (∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])) ∧ (||L|| ≤ k))))))
3. [A] : Type
4. A ~ ℕk
5. [E] : A ⟶ A ⟶ ℙ
6. EquivRel(A;x,y.E[x;y])
7. ∀x,y:A.  Dec(E[x;y])
8. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
9. b : A
10. i : ℕ
11. j : ℕ
12. k = (i + j) ∈ ℤ
13. {a:A| E[b;a]}  ~ ℕi
14. {a:A| ¬E[b;a]}  ~ ℕj
15. ¬(i = 0 ∈ ℤ)
16. L : {a:A| ¬E[b;a]}  List
17. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b]) ∧ (∀a:{a:A| ¬E[b;a]} . (∃b∈L. E[a;b])) ∧ (||L|| ≤ j)
18. i1 : ℕ||[b / L]||
⊢ ∀j:ℕi1. (¬E[[b / L][j];[b / L][i1]])
BY
{ (Reduce -1
   THEN (CaseNat 0 `i1' THENL [Auto; (D 0 THENA Auto)])
   THEN CaseNat 0 `j1'
   THEN Reduce 0
   THEN RWO "select-cons-tl" 0
   THEN Auto) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[A:Type]
       (A ~ ℕk
       ⇒ (∀[E:A ⟶ A ⟶ ℙ]
             (EquivRel(A;x,y.E[x;y])
             ⇒ (∀x,y:A.  Dec(E[x;y]))
             ⇒ (∃L:A List. ((∀a,b∈L.  ¬E[a;b]) ∧ (∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])) ∧ (||L|| ≤ k))))))
3. [A] : Type
4. A ~ ℕk
5. [E] : A ⟶ A ⟶ ℙ
6. EquivRel(A;x,y.E[x;y])
7. ∀x,y:A.  Dec(E[x;y])
8. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
9. b : A
10. i : ℕ
11. j : ℕ
12. k = (i + j) ∈ ℤ
13. {a:A| E[b;a]}  ~ ℕi
14. {a:A| ¬E[b;a]}  ~ ℕj
15. ¬(i = 0 ∈ ℤ)
16. L : {a:A| ¬E[b;a]}  List
17. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b])
18. ∀a:{a:A| ¬E[b;a]} . (∃b∈L. E[a;b])
19. ||L|| ≤ j
20. i1 : ℕ||L|| + 1
21. ¬(i1 = 0 ∈ ℤ)
22. j1 : ℕi1
23. j1 = 0 ∈ ℤ
⊢ ¬E[b;L[i1 - 1]]

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[A:Type]
              (A  \msim{}  \mBbbN{}k
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[E:A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
                          (EquivRel(A;x,y.E[x;y])
                          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:A.    Dec(E[x;y]))
                          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}L:A  List.  ((\mforall{}a,b\mmember{}L.    \mneg{}E[a;b])  \mwedge{}  (\mforall{}a:A.  (\mexists{}b\mmember{}L.  E[a;b]))  \mwedge{}  (||L||  \mleq{}  k))))))
3.  [A]  :  Type
4.  A  \msim{}  \mBbbN{}k
5.  [E]  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  EquivRel(A;x,y.E[x;y])
7.  \mforall{}x,y:A.    Dec(E[x;y])
8.  \mneg{}(k  =  0)
9.  b  :  A
10.  i  :  \mBbbN{}
11.  j  :  \mBbbN{}
12.  k  =  (i  +  j)
13.  \{a:A|  E[b;a]\}    \msim{}  \mBbbN{}i
14.  \{a:A|  \mneg{}E[b;a]\}    \msim{}  \mBbbN{}j
15.  \mneg{}(i  =  0)
16.  L  :  \{a:A|  \mneg{}E[b;a]\}    List
17.  (\mforall{}a,b\mmember{}L.    \mneg{}E[a;b])  \mwedge{}  (\mforall{}a:\{a:A|  \mneg{}E[b;a]\}  .  (\mexists{}b\mmember{}L.  E[a;b]))  \mwedge{}  (||L||  \mleq{}  j)
18.  i1  :  \mBbbN{}||[b  /  L]||
\mvdash{}  \mforall{}j:\mBbbN{}i1.  (\mneg{}E[[b  /  L][j];[b  /  L][i1]])


By

---

Latex:
(Reduce  -1
  THEN  (CaseNat  0  `i1'  THENL  [Auto;  (D  0  THENA  Auto)])
  THEN  CaseNat  0  `j1'
  THEN  Reduce  0
  THEN  RWO  "select-cons-tl"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index