---

Step * 1 3 2 of Lemma equipollent-partition


1. k : ℕ
2. [A] : Type
3. A ~ ℕk
4. [P] : A ⟶ ℙ
5. d : ∀x:A. Dec(P[x])
6. L : A List
7. no_repeats(A;L)
8. ||L|| = k ∈ ℤ
9. ∀x:A. (x ∈ L)
10. ∀x:A. ((isl(d x) ∈ 𝔹) ∧ (↑isl(d x) ⇐⇒ P[x]))
11. k = (||filter(λx.isl(d x);L)|| + ||filter(λx.(¬bisl(d x));L)||) ∈ ℤ
12. {a:A| P[a]}  ~ ℕ||filter(λx.isl(d x);L)||
13. X : {a:A| ¬P[a]}  List
14. filter(λx.(¬bisl(d x));L) = X ∈ ({a:A| ¬P[a]}  List)
⊢ {a:A| ¬P[a]}  ~ ℕ||X||
BY
{ (BLemma `equipollent-iff-list`⋅ THEN Auto THEN With ⌜X⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. k : ℕ
2. [A] : Type
3. A ~ ℕk
4. [P] : A ⟶ ℙ
5. d : ∀x:A. Dec(P[x])
6. L : A List
7. no_repeats(A;L)
8. ||L|| = k ∈ ℤ
9. ∀x:A. (x ∈ L)
10. ∀x:A. ((isl(d x) ∈ 𝔹) ∧ (↑isl(d x) ⇐⇒ P[x]))
11. k = (||filter(λx.isl(d x);L)|| + ||filter(λx.(¬bisl(d x));L)||) ∈ ℤ
12. {a:A| P[a]}  ~ ℕ||filter(λx.isl(d x);L)||
13. X : {a:A| ¬P[a]}  List
14. filter(λx.(¬bisl(d x));L) = X ∈ ({a:A| ¬P[a]}  List)
⊢ no_repeats({a:A| ¬P[a]} ;X)

2
1. k : ℕ
2. [A] : Type
3. A ~ ℕk
4. [P] : A ⟶ ℙ
5. d : ∀x:A. Dec(P[x])
6. L : A List
7. no_repeats(A;L)
8. ||L|| = k ∈ ℤ
9. ∀x:A. (x ∈ L)
10. ∀x:A. ((isl(d x) ∈ 𝔹) ∧ (↑isl(d x) ⇐⇒ P[x]))
11. k = (||filter(λx.isl(d x);L)|| + ||filter(λx.(¬bisl(d x));L)||) ∈ ℤ
12. {a:A| P[a]}  ~ ℕ||filter(λx.isl(d x);L)||
13. X : {a:A| ¬P[a]}  List
14. filter(λx.(¬bisl(d x));L) = X ∈ ({a:A| ¬P[a]}  List)
15. no_repeats({a:A| ¬P[a]} ;X)
16. ||X|| = ||X|| ∈ ℤ
17. x : {a:A| ¬P[a]} 
⊢ (x ∈ X)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  [A]  :  Type
3.  A  \msim{}  \mBbbN{}k
4.  [P]  :  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  d  :  \mforall{}x:A.  Dec(P[x])
6.  L  :  A  List
7.  no\_repeats(A;L)
8.  ||L||  =  k
9.  \mforall{}x:A.  (x  \mmember{}  L)
10.  \mforall{}x:A.  ((isl(d  x)  \mmember{}  \mBbbB{})  \mwedge{}  (\muparrow{}isl(d  x)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  P[x]))
11.  k  =  (||filter(\mlambda{}x.isl(d  x);L)||  +  ||filter(\mlambda{}x.(\mneg{}\msubb{}isl(d  x));L)||)
12.  \{a:A|  P[a]\}    \msim{}  \mBbbN{}||filter(\mlambda{}x.isl(d  x);L)||
13.  X  :  \{a:A|  \mneg{}P[a]\}    List
14.  filter(\mlambda{}x.(\mneg{}\msubb{}isl(d  x));L)  =  X
\mvdash{}  \{a:A|  \mneg{}P[a]\}    \msim{}  \mBbbN{}||X||


By

---

Latex:
(BLemma  `equipollent-iff-list`\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  With  \mkleeneopen{}X\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index