---

Step * 1 2 1 1 3 of Lemma equipollent-quotient2


1. [A] : Type
2. E : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. d : ∀x,y:A.  Dec(↓E[x;y])
4. EquivRel(A;x,y.↓E[x;y])
5. ∀x,y:A.  (isl(d x y) ∈ 𝔹)
6. ∀x,y:A.  (↑isl(d x y) ⇐⇒ ↓E[x;y])
7. A ~ a:x,y:A//(↑isl(d x y)) × {b:A| ↑isl(d a b)} 
8. EquivRel(A;x,y.↑isl(d x y))
9. x,y:A//(↓E[x;y]) ≡ x,y:A//(↑isl(d x y))
10. a:x,y:A//(↑isl(d x y)) × {b:A| ↑isl(d a b)}  ∈ Type
11. a:x,y:A//(↓E[x;y]) × {b:A| ↑isl(d a b)}  ∈ Type
⊢ Bij(x,y:A//(↑isl(d x y));x,y:A//(↓E[x;y]);λx.x)
BY
{ (BLemma `ext-eq-implies-biject` THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  E  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  d  :  \mforall{}x,y:A.    Dec(\mdownarrow{}E[x;y])
4.  EquivRel(A;x,y.\mdownarrow{}E[x;y])
5.  \mforall{}x,y:A.    (isl(d  x  y)  \mmember{}  \mBbbB{})
6.  \mforall{}x,y:A.    (\muparrow{}isl(d  x  y)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mdownarrow{}E[x;y])
7.  A  \msim{}  a:x,y:A//(\muparrow{}isl(d  x  y))  \mtimes{}  \{b:A|  \muparrow{}isl(d  a  b)\} 
8.  EquivRel(A;x,y.\muparrow{}isl(d  x  y))
9.  x,y:A//(\mdownarrow{}E[x;y])  \mequiv{}  x,y:A//(\muparrow{}isl(d  x  y))
10.  a:x,y:A//(\muparrow{}isl(d  x  y))  \mtimes{}  \{b:A|  \muparrow{}isl(d  a  b)\}    \mmember{}  Type
11.  a:x,y:A//(\mdownarrow{}E[x;y])  \mtimes{}  \{b:A|  \muparrow{}isl(d  a  b)\}    \mmember{}  Type
\mvdash{}  Bij(x,y:A//(\muparrow{}isl(d  x  y));x,y:A//(\mdownarrow{}E[x;y]);\mlambda{}x.x)


By

---

Latex:
(BLemma  `ext-eq-implies-biject`  THEN  Auto)

---

Home Index