---

Step * 1 1 1 1 1 2 of Lemma finite-quotient-bound


1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. R : ℕn ⟶ ℕn ⟶ ℙ
4. EquivRel(ℕn;x,y.x R y)
5. x,y:ℕn//(x R y) ~ ℕm
6. ∀x,y:ℕn.  Dec(x R y)
7. ∃g:(x,y:ℕn//(x R y)) ⟶ ℕn. Inj(x,y:ℕn//(x R y);ℕn;g)
⊢ ∃f:ℕm ⟶ ℕn. Inj(ℕm;ℕn;f)
BY
{ (ExRepD THEN (Assert ℕm ~ x,y:ℕn//(x R y) BY (RelRST THEN Auto)) THEN RepeatFor 2 (D -1)) }

1
1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. R : ℕn ⟶ ℕn ⟶ ℙ
4. EquivRel(ℕn;x,y.x R y)
5. x,y:ℕn//(x R y) ~ ℕm
6. ∀x,y:ℕn.  Dec(x R y)
7. g : (x,y:ℕn//(x R y)) ⟶ ℕn
8. Inj(x,y:ℕn//(x R y);ℕn;g)
9. f : ℕm ⟶ (x,y:ℕn//(x R y))
10. Inj(ℕm;x,y:ℕn//(x R y);f)
11. Surj(ℕm;x,y:ℕn//(x R y);f)
⊢ ∃f:ℕm ⟶ ℕn. Inj(ℕm;ℕn;f)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  m  :  \mBbbN{}
3.  R  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  EquivRel(\mBbbN{}n;x,y.x  R  y)
5.  x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y)  \msim{}  \mBbbN{}m
6.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}n.    Dec(x  R  y)
7.  \mexists{}g:(x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y))  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n.  Inj(x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y);\mBbbN{}n;g)
\mvdash{}  \mexists{}f:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n.  Inj(\mBbbN{}m;\mBbbN{}n;f)


By

---

Latex:
(ExRepD  THEN  (Assert  \mBbbN{}m  \msim{}  x,y:\mBbbN{}n//(x  R  y)  BY  (RelRST  THEN  Auto))  THEN  RepeatFor  2  (D  -1))

---

Home Index