---

Step * 2 1 1 of Lemma involution-has-fixpoint


1. n : ℕ
2. [T] : Type
3. T ~ ℕn
4. f : T ⟶ T
5. ∀x:T. ((f (f x)) = x ∈ T)
6. (n rem 2) = 1 ∈ ℤ
7. orbits : T List List
8. (∀o∈orbits.orbit(T;f;o))
9. ∀a:T. (∃o∈orbits. (a ∈ o))
10. (∀o1,o2∈orbits.  l_disjoint(T;o1;o2))
11. no_repeats(T List;orbits)
12. n = l_sum(map(λo.||o||;orbits)) ∈ ℤ
13. ∀o:T List. (||o|| = 1 ∈ ℤ) ∨ (||o|| = 2 ∈ ℤ) supposing orbit(T;f;o)
⊢ ∃x:T. ((f x) = x ∈ T)
BY
{ Assert ⌜(∃o∈orbits. ||o|| = 1 ∈ ℤ)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. [T] : Type
3. T ~ ℕn
4. f : T ⟶ T
5. ∀x:T. ((f (f x)) = x ∈ T)
6. (n rem 2) = 1 ∈ ℤ
7. orbits : T List List
8. (∀o∈orbits.orbit(T;f;o))
9. ∀a:T. (∃o∈orbits. (a ∈ o))
10. (∀o1,o2∈orbits.  l_disjoint(T;o1;o2))
11. no_repeats(T List;orbits)
12. n = l_sum(map(λo.||o||;orbits)) ∈ ℤ
13. ∀o:T List. (||o|| = 1 ∈ ℤ) ∨ (||o|| = 2 ∈ ℤ) supposing orbit(T;f;o)
⊢ (∃o∈orbits. ||o|| = 1 ∈ ℤ)

2
1. n : ℕ
2. [T] : Type
3. T ~ ℕn
4. f : T ⟶ T
5. ∀x:T. ((f (f x)) = x ∈ T)
6. (n rem 2) = 1 ∈ ℤ
7. orbits : T List List
8. (∀o∈orbits.orbit(T;f;o))
9. ∀a:T. (∃o∈orbits. (a ∈ o))
10. (∀o1,o2∈orbits.  l_disjoint(T;o1;o2))
11. no_repeats(T List;orbits)
12. n = l_sum(map(λo.||o||;orbits)) ∈ ℤ
13. ∀o:T List. (||o|| = 1 ∈ ℤ) ∨ (||o|| = 2 ∈ ℤ) supposing orbit(T;f;o)
14. (∃o∈orbits. ||o|| = 1 ∈ ℤ)
⊢ ∃x:T. ((f x) = x ∈ T)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  [T]  :  Type
3.  T  \msim{}  \mBbbN{}n
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  \mforall{}x:T.  ((f  (f  x))  =  x)
6.  (n  rem  2)  =  1
7.  orbits  :  T  List  List
8.  (\mforall{}o\mmember{}orbits.orbit(T;f;o))
9.  \mforall{}a:T.  (\mexists{}o\mmember{}orbits.  (a  \mmember{}  o))
10.  (\mforall{}o1,o2\mmember{}orbits.    l\_disjoint(T;o1;o2))
11.  no\_repeats(T  List;orbits)
12.  n  =  l\_sum(map(\mlambda{}o.||o||;orbits))
13.  \mforall{}o:T  List.  (||o||  =  1)  \mvee{}  (||o||  =  2)  supposing  orbit(T;f;o)
\mvdash{}  \mexists{}x:T.  ((f  x)  =  x)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(\mexists{}o\mmember{}orbits.  ||o||  =  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index