---

Step * 3 1 1 of Lemma fset-ac-glb-is-glb


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. ac1 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. ac2 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;ac1;ac2);ac2)
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. x : fset(T)
10. x ∈ ac3
11. {y ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2)) | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T))
⊢ False
BY
{ ((FHyp 7 [10] THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN Using [`eq',⌜deq-fset(eq)⌝] (BLemma `fset-extensionality`)⋅
   THEN Reduce 0
   THEN Auto
   THEN (FLemma `member-fset-filter` [-1] THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN Reduce (-1)
   THEN (RW assert_pushdownC (-1) THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. ac1 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. ac2 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;ac1;ac2);ac2)
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. x : fset(T)
10. x ∈ ac3
11. {y ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2)) | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T))
12. a : fset(T)
13. a ∈ {y ∈ ac1 | deq-f-subset(eq) y x}
14. a ∈ ac1
15. a ⊆ x
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  ac1  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
4.  ac2  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
5.  fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;ac1;ac2);ac2)
6.  ac3  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
7.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac1  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
8.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac2  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
9.  x  :  fset(T)
10.  x  \mmember{}  ac3
11.  \{y  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(ac2))  |  deq-f-subset(eq)  y  x\}  =  \{\}
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
((FHyp  7  [10]  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  Using  [`eq',\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]  (BLemma  `fset-extensionality`)\mcdot{}
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto
  THEN  (FLemma  `member-fset-filter`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  (RW  assert\_pushdownC  (-1)  THENA  Auto))

---

Home Index