---

Step * of Lemma fset-ac-le-distributive-constrained

∀[T:Type]. ∀[eq:EqDecider(T)]. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹].
  ∀[a,b,c:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} ].
    (glb(P;a;lub(P;b;c))
    = lub(P;glb(P;a;b);glb(P;a;c))
    ∈ {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} ) 
  supposing ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
BY
{ (Auto THEN EqTypeCD THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
⊢ glb(P;a;lub(P;b;c)) = lub(P;glb(P;a;b);glb(P;a;c)) ∈ fset(fset(T))

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
⊢ ↑fset-antichain(eq;glb(P;a;lub(P;b;c)))

3
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
8. ↑fset-antichain(eq;glb(P;a;lub(P;b;c)))
⊢ fset-all(glb(P;a;lub(P;b;c));a.P[a])

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[eq:EqDecider(T)].  \mforall{}[P:fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].
    \mforall{}[a,b,c:\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\}  ].
        (glb(P;a;lub(P;b;c))  =  lub(P;glb(P;a;b);glb(P;a;c))) 
    supposing  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  EqTypeCD  THEN  Auto)

---

Home Index