---

Step * 3 1 1 of Lemma fset-ac-le-distributive


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. c : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
6. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7. x : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
10. x@0 : fset(T)
11. x@0 ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
12. fset-all(f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"
                                                    (fset-ac-lub(eq;b;c)));ys.¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;x@0))
⊢ ¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y x@0} = {} ∈ fset(fset(T)))
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "member-f-union" (-3) THENA Auto)
   THEN SqExRepD
   THEN (RWO "member-fset-image-iff" (-3) THENA Auto)
   THEN (SqExRepD THEN All Reduce)
   THEN (InstLemma `fset-all-iff` [⌜fset(T)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" 16⋅ THENA Auto)
   THEN Thin (-1)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. c : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
6. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7. x : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
10. x@0 : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. x1 : fset(T)
14. x1 ∈ fset-ac-lub(eq;b;c)
15. x@0 = as ⋃ x1 ∈ fset(T)
16. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;x@0) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
17. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y x@0} = {} ∈ fset(fset(T))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
4.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
5.  c  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
6.  fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7.  x  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
8.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  fset-ac-glb(eq;a;b)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
9.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  fset-ac-glb(eq;a;c)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
10.  x@0  :  fset(T)
11.  x@0  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
12.  fset-all(f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"
                                                                                                        (fset-ac-lub(eq;b;c)));ys.\mneg{}\msubb{}...)
\mvdash{}  \mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  x@0\}  =  \{\})


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "member-f-union"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  SqExRepD
  THEN  (RWO  "member-fset-image-iff"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  (SqExRepD  THEN  All  Reduce)
  THEN  (InstLemma  `fset-all-iff`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  16\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1))

---

Home Index