---

Step * 1 of Lemma fset-ac-lub-is-lub-constrained


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
5. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} @i
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac1 ⇒ (¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac2 ⇒ (¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
⊢ fset-ac-le(eq;fset-ac-lub(eq;ac1;ac2);ac3)
BY
{ ((Unfold `fset-ac-le` 0 THEN Auto)
   THEN (InstLemma `fset-all-iff` [⌜fset(T)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto
   THEN Thin (-3)
   THEN (RWO "assert-fset-null" 0 THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
5. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} @i
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac1 ⇒ (¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac2 ⇒ (¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. x : fset(T)
10. x ∈ fset-ac-lub(eq;ac1;ac2)
⊢ ¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  ac1  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
5.  ac2  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  ac3  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\}  @i
7.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac1  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac3  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
8.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac2  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac3  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
\mvdash{}  fset-ac-le(eq;fset-ac-lub(eq;ac1;ac2);ac3)


By

---

Latex:
((Unfold  `fset-ac-le`  0  THEN  Auto)
  THEN  (InstLemma  `fset-all-iff`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto
  THEN  Thin  (-3)
  THEN  (RWO  "assert-fset-null"  0  THENA  Auto))

---

Home Index