---

Step * 1 1 of Lemma fset-ac-lub-is-lub-constrained


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
5. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} @i
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac1 ⇒ (¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac2 ⇒ (¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. x : fset(T)
10. x ∈ fset-ac-lub(eq;ac1;ac2)
⊢ ¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T)))
BY
{ (Unfold `fset-ac-lub` -1 THEN (RWO "member-fset-minimals" (-1) THENA Auto) THEN D -1) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
5. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac3 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} @i
7. ∀a:fset(T). (a ∈ ac1 ⇒ (¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
8. ∀a:fset(T). (a ∈ ac2 ⇒ (¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y a} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. x : fset(T)
10. x ∈ ac1 ⋃ ac2
11. fset-all(ac1 ⋃ ac2;ys.¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;x))
⊢ ¬({y ∈ ac3 | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  ac1  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
5.  ac2  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  ac3  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\}  @i
7.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac1  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac3  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
8.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac2  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  ac3  |  deq-f-subset(eq)  y  a\}  =  \{\})))
9.  x  :  fset(T)
10.  x  \mmember{}  fset-ac-lub(eq;ac1;ac2)
\mvdash{}  \mneg{}(\{y  \mmember{}  ac3  |  deq-f-subset(eq)  y  x\}  =  \{\})


By

---

Latex:
(Unfold  `fset-ac-lub`  -1  THEN  (RWO  "member-fset-minimals"  (-1)  THENA  Auto)  THEN  D  -1)

---

Home Index