---

Step * of Lemma fset-constrained-ac-glb-is-glb

∀[T:Type]. ∀[eq:EqDecider(T)]. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹].
  ∀[ac1,ac2:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} ].
    greatest-lower-bound({ac:fset(fset(T))| 
                          (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} ;ac1,ac2.fset-ac-le(eq;ac1;ac2);ac1;ac2;glb(P;\000Cac1;ac2)) 
  supposing ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
BY
{ (Auto THEN D 0 THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
⊢ fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac1)

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
⊢ fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)

3
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8. ac1@0 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
9. fset-ac-le(eq;ac1@0;ac1)
10. fset-ac-le(eq;ac1@0;ac2)
⊢ fset-ac-le(eq;ac1@0;glb(P;ac1;ac2))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[eq:EqDecider(T)].  \mforall{}[P:fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].
    \mforall{}[ac1,ac2:\{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\}  ].
        greatest-lower-bound(\{ac:fset(fset(T))| 
                                                    (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\}  ;ac1,ac2.fset-ac-le(eq;ac1\000C;ac2);ac1;ac2;...) 
    supposing  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  D  0  THEN  Auto)

---

Home Index