---

Step * 3 of Lemma fset-constrained-ac-glb-is-glb


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8. ac1@0 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
9. fset-ac-le(eq;ac1@0;ac1)
10. fset-ac-le(eq;ac1@0;ac2)
⊢ fset-ac-le(eq;ac1@0;glb(P;ac1;ac2))
BY
{ (RenameVar `ac3' (-3)
   THEN Unfold `fset-constrained-ac-glb` 0
   THEN (InstLemma `fset-ac-le_transitivity` [⌜T⌝;⌜eq⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Using [`ac2',⌜f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2) s.t. P)⌝] (BHyp (-1))⋅
   THEN Auto
   THEN Thin (-1)
   THEN RepeatFor 2 (((FLemma `fset-ac-le-implies2` [-2] THENA Auto) THEN Thin (-3)))) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8. ac3 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
9. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac1 ∧ b ⊆ a)))
10. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac2 ∧ b ⊆ a)))
⊢ fset-ac-le(eq;ac3;f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2) s.t. P))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  ac1  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  ac2  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
7.  fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8.  ac1@0  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
9.  fset-ac-le(eq;ac1@0;ac1)
10.  fset-ac-le(eq;ac1@0;ac2)
\mvdash{}  fset-ac-le(eq;ac1@0;glb(P;ac1;ac2))


By

---

Latex:
(RenameVar  `ac3'  (-3)
  THEN  Unfold  `fset-constrained-ac-glb`  0
  THEN  (InstLemma  `fset-ac-le\_transitivity`  [\mkleeneopen{}T\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}eq\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Using  [`ac2',\mkleeneopen{}f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(ac2)  s.t.  P)\mkleeneclose{}]  (BHyp  (-1))
  \mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  RepeatFor  2  (((FLemma  `fset-ac-le-implies2`  [-2]  THENA  Auto)  THEN  Thin  (-3))))

---

Home Index