---

Step * 3 1 of Lemma fset-constrained-ac-glb-is-glb


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8. ac3 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
9. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac1 ∧ b ⊆ a)))
10. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac2 ∧ b ⊆ a)))
⊢ fset-ac-le(eq;ac3;f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2) s.t. P))
BY
{ (Unfolds ``fset-ac-le`` 0
   THEN (InstLemma `fset-all-iff` [⌜fset(T)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto
   THEN Thin (-3)
   THEN (RWO "assert-fset-null" 0 THENA Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8. ac3 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
9. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac1 ∧ b ⊆ a)))
10. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac2 ∧ b ⊆ a)))
11. x : fset(T)
12. x ∈ ac3
13. {y ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2) s.t. P) | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  ac1  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  ac2  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
7.  fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8.  ac3  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
9.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}b:fset(T).  (b  \mmember{}  ac1  \mwedge{}  b  \msubseteq{}  a)))
10.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}b:fset(T).  (b  \mmember{}  ac2  \mwedge{}  b  \msubseteq{}  a)))
\mvdash{}  fset-ac-le(eq;ac3;f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(ac2)  s.t.  P))


By

---

Latex:
(Unfolds  ``fset-ac-le``  0
  THEN  (InstLemma  `fset-all-iff`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto
  THEN  Thin  (-3)
  THEN  (RWO  "assert-fset-null"  0  THENA  Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index