---

Step * 2 1 of Lemma fset-constrained-ac-glb-is-glb


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. x : fset(T)
8. x ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2) s.t. P)
9. fset-all(f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2) s.t. P);ys.¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;x))
⊢ ¬({y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T)))
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "member-f-union" (-3) THENA Auto)
   THEN SqExRepD
   THEN (RWO "member-fset-constrained-image-iff" (-3) THENA Auto)
   THEN SqExRepD
   THEN Reduce (-4)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. x : fset(T)
8. as : fset(T)
9. as ∈ ac1
10. x1 : fset(T)
11. x1 ∈ ac2
12. x = as ⋃ x1 ∈ fset(T)
13. ↑(P x)
14. fset-all(f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2) s.t. P);ys.¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;x))
15. {y ∈ ac2 | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  ac1  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  ac2  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
7.  x  :  fset(T)
8.  x  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(ac2)  s.t.  P)
9.  fset-all(f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(ac2)  s.t.  P);ys.\mneg{}\msubb{}...)
\mvdash{}  \mneg{}(\{y  \mmember{}  ac2  |  deq-f-subset(eq)  y  x\}  =  \{\})


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "member-f-union"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  SqExRepD
  THEN  (RWO  "member-fset-constrained-image-iff"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  SqExRepD
  THEN  Reduce  (-4))

---

Home Index