---

Step * 1 2 1 1 of Lemma disjoint_increasing_onto


1. m : ℕ
2. n : ℕ
3. k : ℕ
4. f : ℕn ⟶ ℕm
5. g : ℕk ⟶ ℕm
6. increasing(f;n)
7. increasing(g;k)
8. ∀i:ℕm. ((∃j:ℕn. (i = (f j) ∈ ℤ)) ∨ (∃j:ℕk. (i = (g j) ∈ ℤ)))
9. ∀j1:ℕn. ∀j2:ℕk.  (¬((f j1) = (g j2) ∈ ℤ))
10. m ≤ (n + k)
⊢ ∃f:ℕn + k ⟶ ℕm. Inj(ℕn + k;ℕm;f)
BY
{ (InstConcl [λi.if i <z n then f i else g (i - n) fi ] THENA Auto) }

1
1. m : ℕ
2. n : ℕ
3. k : ℕ
4. f : ℕn ⟶ ℕm
5. g : ℕk ⟶ ℕm
6. increasing(f;n)
7. increasing(g;k)
8. ∀i:ℕm. ((∃j:ℕn. (i = (f j) ∈ ℤ)) ∨ (∃j:ℕk. (i = (g j) ∈ ℤ)))
9. ∀j1:ℕn. ∀j2:ℕk.  (¬((f j1) = (g j2) ∈ ℤ))
10. m ≤ (n + k)
⊢ Inj(ℕn + k;ℕm;λi.if i <z n then f i else g (i - n) fi )

---

Latex:

---

Latex:

1.  m  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  k  :  \mBbbN{}
4.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m
5.  g  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m
6.  increasing(f;n)
7.  increasing(g;k)
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}m.  ((\mexists{}j:\mBbbN{}n.  (i  =  (f  j)))  \mvee{}  (\mexists{}j:\mBbbN{}k.  (i  =  (g  j))))
9.  \mforall{}j1:\mBbbN{}n.  \mforall{}j2:\mBbbN{}k.    (\mneg{}((f  j1)  =  (g  j2)))
10.  m  \mleq{}  (n  +  k)
\mvdash{}  \mexists{}f:\mBbbN{}n  +  k  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m.  Inj(\mBbbN{}n  +  k;\mBbbN{}m;f)


By

---

Latex:
(InstConcl  [\mlambda{}i.if  i  <z  n  then  f  i  else  g  (i  -  n)  fi  ]  THENA  Auto)

---

Home Index