---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma iteration_terminates


1. [T] : Type
2. f : T ⟶ T
3. m : T ⟶ ℕ
4. ∀x:T. (((m (f x)) ≤ (m x)) ∧ (f x) = x ∈ T supposing (m (f x)) = (m x) ∈ ℤ)
5. x : T
6. n : ℤ
7. [%2] : 0 < n
8. (m (f^n - 1 x)) ≤ ((m x) - n - 1)
9. (m (f^n x)) ≤ (m (f^n - 1 x))
10. (f^n x) = (f^n - 1 x) ∈ T supposing (m (f^n x)) = (m (f^n - 1 x)) ∈ ℤ
⊢ ((m (f^n x)) ≤ ((m x) - n)) ∨ ((f (f^n x)) = (f^n x) ∈ T)
BY
{ (Decide ⌜m (f^n x) < m (f^n - 1 x)⌝ THENA Auto) }

1
1. [T] : Type
2. f : T ⟶ T
3. m : T ⟶ ℕ
4. ∀x:T. (((m (f x)) ≤ (m x)) ∧ (f x) = x ∈ T supposing (m (f x)) = (m x) ∈ ℤ)
5. x : T
6. n : ℤ
7. [%2] : 0 < n
8. (m (f^n - 1 x)) ≤ ((m x) - n - 1)
9. (m (f^n x)) ≤ (m (f^n - 1 x))
10. (f^n x) = (f^n - 1 x) ∈ T supposing (m (f^n x)) = (m (f^n - 1 x)) ∈ ℤ
11. m (f^n x) < m (f^n - 1 x)
⊢ ((m (f^n x)) ≤ ((m x) - n)) ∨ ((f (f^n x)) = (f^n x) ∈ T)

2
1. [T] : Type
2. f : T ⟶ T
3. m : T ⟶ ℕ
4. ∀x:T. (((m (f x)) ≤ (m x)) ∧ (f x) = x ∈ T supposing (m (f x)) = (m x) ∈ ℤ)
5. x : T
6. n : ℤ
7. [%2] : 0 < n
8. (m (f^n - 1 x)) ≤ ((m x) - n - 1)
9. (m (f^n x)) ≤ (m (f^n - 1 x))
10. (f^n x) = (f^n - 1 x) ∈ T supposing (m (f^n x)) = (m (f^n - 1 x)) ∈ ℤ
11. ¬m (f^n x) < m (f^n - 1 x)
⊢ ((m (f^n x)) ≤ ((m x) - n)) ∨ ((f (f^n x)) = (f^n x) ∈ T)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
3.  m  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x:T.  (((m  (f  x))  \mleq{}  (m  x))  \mwedge{}  (f  x)  =  x  supposing  (m  (f  x))  =  (m  x))
5.  x  :  T
6.  n  :  \mBbbZ{}
7.  [\%2]  :  0  <  n
8.  (m  (f\^{}n  -  1  x))  \mleq{}  ((m  x)  -  n  -  1)
9.  (m  (f\^{}n  x))  \mleq{}  (m  (f\^{}n  -  1  x))
10.  (f\^{}n  x)  =  (f\^{}n  -  1  x)  supposing  (m  (f\^{}n  x))  =  (m  (f\^{}n  -  1  x))
\mvdash{}  ((m  (f\^{}n  x))  \mleq{}  ((m  x)  -  n))  \mvee{}  ((f  (f\^{}n  x))  =  (f\^{}n  x))


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}m  (f\^{}n  x)  <  m  (f\^{}n  -  1  x)\mkleeneclose{}  THENA  Auto)

---

Home Index