---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma iteration_terminates


1. T : Type
2. f : T ⟶ T
3. m : T ⟶ ℕ
4. ∀x:T. (((m (f x)) ≤ (m x)) ∧ (f x) = x ∈ T supposing (m (f x)) = (m x) ∈ ℤ)
5. x : T
6. ∀n:ℕ. (((m (f^n x)) ≤ ((m x) - n)) ∨ ((f (f^n x)) = (f^n x) ∈ T))
7. (m (f^(m x) + 1 x)) ≤ ((m x) - (m x) + 1)
⊢ (f (f^(m x) + 1 x)) = (f^(m x) + 1 x) ∈ T
BY
{ (Subst ⌜((m x) - (m x) + 1) = (0 - 1) ∈ ℤ⌝ (-1)) }

1
.....equality..... 
1. T : Type
2. f : T ⟶ T
3. m : T ⟶ ℕ
4. ∀x:T. (((m (f x)) ≤ (m x)) ∧ (f x) = x ∈ T supposing (m (f x)) = (m x) ∈ ℤ)
5. x : T
6. ∀n:ℕ. (((m (f^n x)) ≤ ((m x) - n)) ∨ ((f (f^n x)) = (f^n x) ∈ T))
7. (m (f^(m x) + 1 x)) ≤ ((m x) - (m x) + 1)
⊢ ((m x) - (m x) + 1) = (0 - 1) ∈ ℤ

2
.....wf..... 
1. T : Type
2. f : T ⟶ T
3. m : T ⟶ ℕ
4. ∀x:T. (((m (f x)) ≤ (m x)) ∧ (f x) = x ∈ T supposing (m (f x)) = (m x) ∈ ℤ)
5. x : T
6. ∀n:ℕ. (((m (f^n x)) ≤ ((m x) - n)) ∨ ((f (f^n x)) = (f^n x) ∈ T))
7. (m (f^(m x) + 1 x)) ≤ ((m x) - (m x) + 1)
8. z : ℤ
⊢ (m (f^(m x) + 1 x)) ≤ z ∈ ℙ

3
1. T : Type
2. f : T ⟶ T
3. m : T ⟶ ℕ
4. ∀x:T. (((m (f x)) ≤ (m x)) ∧ (f x) = x ∈ T supposing (m (f x)) = (m x) ∈ ℤ)
5. x : T
6. ∀n:ℕ. (((m (f^n x)) ≤ ((m x) - n)) ∨ ((f (f^n x)) = (f^n x) ∈ T))
7. (m (f^(m x) + 1 x)) ≤ (0 - 1)
⊢ (f (f^(m x) + 1 x)) = (f^(m x) + 1 x) ∈ T

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
3.  m  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x:T.  (((m  (f  x))  \mleq{}  (m  x))  \mwedge{}  (f  x)  =  x  supposing  (m  (f  x))  =  (m  x))
5.  x  :  T
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (((m  (f\^{}n  x))  \mleq{}  ((m  x)  -  n))  \mvee{}  ((f  (f\^{}n  x))  =  (f\^{}n  x)))
7.  (m  (f\^{}(m  x)  +  1  x))  \mleq{}  ((m  x)  -  (m  x)  +  1)
\mvdash{}  (f  (f\^{}(m  x)  +  1  x))  =  (f\^{}(m  x)  +  1  x)


By

---

Latex:
(Subst  \mkleeneopen{}((m  x)  -  (m  x)  +  1)  =  (0  -  1)\mkleeneclose{}  (-1))

---

Home Index