---

Step * 1 1 2 1 of Lemma not-all-int_seg2


1. d : ℤ
2. [%1] : 0 < d
3. ∀i,j:ℤ.
     (j < i + (d - 1)
     ⇒ (∀[P,Q:{i..j-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j-}. Q[x]))))
4. i : ℤ
5. j : ℤ
6. j < i + d
7. [P] : {i..j-} ⟶ ℙ
8. [Q] : {i..j-} ⟶ ℙ
9. ∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])
10. ¬(∀x:{i..j-}. P[x])
11. ∀[P,Q:{i..j - 1-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j - 1-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j - 1-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j - 1-}. Q[x]))
12. i ≤ (j - 1)
⊢ ∃x:{i..j-}. Q[x]
BY
{ ((InstHyp [⌜j - 1⌝] (-4)⋅ THENA Auto') THEN D -1) }

1
1. d : ℤ
2. [%1] : 0 < d
3. ∀i,j:ℤ.
     (j < i + (d - 1)
     ⇒ (∀[P,Q:{i..j-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j-}. Q[x]))))
4. i : ℤ
5. j : ℤ
6. j < i + d
7. [P] : {i..j-} ⟶ ℙ
8. [Q] : {i..j-} ⟶ ℙ
9. ∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])
10. ¬(∀x:{i..j-}. P[x])
11. ∀[P,Q:{i..j - 1-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j - 1-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j - 1-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j - 1-}. Q[x]))
12. i ≤ (j - 1)
13. P[j - 1]
⊢ ∃x:{i..j-}. Q[x]

2
1. d : ℤ
2. [%1] : 0 < d
3. ∀i,j:ℤ.
     (j < i + (d - 1)
     ⇒ (∀[P,Q:{i..j-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j-}. Q[x]))))
4. i : ℤ
5. j : ℤ
6. j < i + d
7. [P] : {i..j-} ⟶ ℙ
8. [Q] : {i..j-} ⟶ ℙ
9. ∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])
10. ¬(∀x:{i..j-}. P[x])
11. ∀[P,Q:{i..j - 1-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j - 1-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j - 1-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j - 1-}. Q[x]))
12. i ≤ (j - 1)
13. Q[j - 1]
⊢ ∃x:{i..j-}. Q[x]

---

Latex:

---

Latex:

1.  d  :  \mBbbZ{}
2.  [\%1]  :  0  <  d
3.  \mforall{}i,j:\mBbbZ{}.
          (j  <  i  +  (d  -  1)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[P,Q:\{i..j\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
                      ((\mforall{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  (P[x]  \mvee{}  Q[x]))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\mforall{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  P[x]))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  Q[x]))))
4.  i  :  \mBbbZ{}
5.  j  :  \mBbbZ{}
6.  j  <  i  +  d
7.  [P]  :  \{i..j\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  [Q]  :  \{i..j\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
9.  \mforall{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  (P[x]  \mvee{}  Q[x])
10.  \mneg{}(\mforall{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  P[x])
11.  \mforall{}[P,Q:\{i..j  -  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
            ((\mforall{}x:\{i..j  -  1\msupminus{}\}.  (P[x]  \mvee{}  Q[x]))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\mforall{}x:\{i..j  -  1\msupminus{}\}.  P[x]))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{i..j  -  1\msupminus{}\}.  Q[x]))
12.  i  \mleq{}  (j  -  1)
\mvdash{}  \mexists{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  Q[x]


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}j  -  1\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THENA  Auto')  THEN  D  -1)

---

Home Index