---

Step * 2 1 1 2 of Lemma apply-cycle-member


1. n : ℕ
2. b : ℕn
3. v : ℕn
4. v1 : ℕn
5. u : ℕn
6. v2 : ℕn List
7. no_repeats(ℕn;v2)
⇒ (∃j:ℕ||v2||
     ((v1 = v2[j] ∈ ℕn)
     ∧ ((j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn))
     ∧ ((¬(j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = v2[j + 1] ∈ ℕn))))
⇒ (rec-case(v2) of [] => v1 | a::as => r.if (v1 =z a) then if null(as) then b else hd(as) fi  else r fi  = v ∈ ℕn)
⊢ no_repeats(ℕn;[u / v2])
⇒ (∃j:ℕ||v2|| + 1
     ((v1 = [u / v2][j] ∈ ℕn)
     ∧ ((j = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn))
     ∧ ((¬(j = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = [u / v2][j + 1] ∈ ℕn))))
⇒ (if (v1 =z u)
   then if null(v2) then b else hd(v2) fi 
   else rec-case(v2) of
        [] => v1
        h::t =>
         r.if (v1 =z h) then if null(t) then b else hd(t) fi  else r fi 
   fi 
   = v
   ∈ ℕn)
BY
{ TACTIC:((D 0 THENA Auto) THEN (D 0 THENM (ExRepD THEN CaseNat 0 `j'))) }

1
1. n : ℕ
2. b : ℕn
3. v : ℕn
4. v1 : ℕn
5. u : ℕn
6. v2 : ℕn List
7. no_repeats(ℕn;v2)
⇒ (∃j:ℕ||v2||
     ((v1 = v2[j] ∈ ℕn)
     ∧ ((j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn))
     ∧ ((¬(j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = v2[j + 1] ∈ ℕn))))
⇒ (rec-case(v2) of [] => v1 | a::as => r.if (v1 =z a) then if null(as) then b else hd(as) fi  else r fi  = v ∈ ℕn)
8. no_repeats(ℕn;[u / v2])
9. j : ℕ||v2|| + 1
10. v1 = [u / v2][j] ∈ ℕn
11. (j = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn)
12. (¬(j = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = [u / v2][j + 1] ∈ ℕn)
13. j = 0 ∈ ℤ
⊢ if (v1 =z u)
then if null(v2) then b else hd(v2) fi 
else rec-case(v2) of
     [] => v1
     h::t =>
      r.if (v1 =z h) then if null(t) then b else hd(t) fi  else r fi 
fi 
= v
∈ ℕn

2
1. n : ℕ
2. b : ℕn
3. v : ℕn
4. v1 : ℕn
5. u : ℕn
6. v2 : ℕn List
7. no_repeats(ℕn;v2)
⇒ (∃j:ℕ||v2||
     ((v1 = v2[j] ∈ ℕn)
     ∧ ((j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn))
     ∧ ((¬(j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = v2[j + 1] ∈ ℕn))))
⇒ (rec-case(v2) of [] => v1 | a::as => r.if (v1 =z a) then if null(as) then b else hd(as) fi  else r fi  = v ∈ ℕn)
8. no_repeats(ℕn;[u / v2])
9. j : ℕ||v2|| + 1
10. v1 = [u / v2][j] ∈ ℕn
11. (j = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn)
12. (¬(j = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = [u / v2][j + 1] ∈ ℕn)
13. ¬(j = 0 ∈ ℤ)
⊢ if (v1 =z u)
then if null(v2) then b else hd(v2) fi 
else rec-case(v2) of
     [] => v1
     h::t =>
      r.if (v1 =z h) then if null(t) then b else hd(t) fi  else r fi 
fi 
= v
∈ ℕn

3
.....wf..... 
1. n : ℕ
2. b : ℕn
3. v : ℕn
4. v1 : ℕn
5. u : ℕn
6. v2 : ℕn List
7. no_repeats(ℕn;v2)
⇒ (∃j:ℕ||v2||
     ((v1 = v2[j] ∈ ℕn)
     ∧ ((j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn))
     ∧ ((¬(j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = v2[j + 1] ∈ ℕn))))
⇒ (rec-case(v2) of [] => v1 | a::as => r.if (v1 =z a) then if null(as) then b else hd(as) fi  else r fi  = v ∈ ℕn)
8. no_repeats(ℕn;[u / v2])
⊢ istype(∃j:ℕ||v2|| + 1
          ((v1 = [u / v2][j] ∈ ℕn)
          ∧ ((j = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn))
          ∧ ((¬(j = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = [u / v2][j + 1] ∈ ℕn))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  b  :  \mBbbN{}n
3.  v  :  \mBbbN{}n
4.  v1  :  \mBbbN{}n
5.  u  :  \mBbbN{}n
6.  v2  :  \mBbbN{}n  List
7.  no\_repeats(\mBbbN{}n;v2)
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}j:\mBbbN{}||v2||
          ((v1  =  v2[j])  \mwedge{}  ((j  =  (||v2||  -  1))  {}\mRightarrow{}  (v  =  b))  \mwedge{}  ((\mneg{}(j  =  (||v2||  -  1)))  {}\mRightarrow{}  (v  =  v2[j  +  1]))))
{}\mRightarrow{}  (rec-case(v2)  of
        []  =>  v1
        a::as  =>
          r.if  (v1  =\msubz{}  a)  then  if  null(as)  then  b  else  hd(as)  fi    else  r  fi 
      =  v)
\mvdash{}  no\_repeats(\mBbbN{}n;[u  /  v2])
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}j:\mBbbN{}||v2||  +  1
          ((v1  =  [u  /  v2][j])
          \mwedge{}  ((j  =  ((||v2||  +  1)  -  1))  {}\mRightarrow{}  (v  =  b))
          \mwedge{}  ((\mneg{}(j  =  ((||v2||  +  1)  -  1)))  {}\mRightarrow{}  (v  =  [u  /  v2][j  +  1]))))
{}\mRightarrow{}  (if  (v1  =\msubz{}  u)
      then  if  null(v2)  then  b  else  hd(v2)  fi 
      else  rec-case(v2)  of
                []  =>  v1
                h::t  =>
                  r.if  (v1  =\msubz{}  h)  then  if  null(t)  then  b  else  hd(t)  fi    else  r  fi 
      fi 
      =  v)


By

---

Latex:
TACTIC:((D  0  THENA  Auto)  THEN  (D  0  THENM  (ExRepD  THEN  CaseNat  0  `j')))

---

Home Index