---

Step * 2 1 1 2 1 1 of Lemma apply-cycle-member

.....truecase..... 
1. n : ℕ
2. b : ℕn
3. v : ℕn
4. v1 : ℕn
5. u : ℕn
6. v2 : ℕn List
7. no_repeats(ℕn;v2)
⇒ (∃j:ℕ||v2||
     ((v1 = v2[j] ∈ ℕn)
     ∧ ((j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn))
     ∧ ((¬(j = (||v2|| - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = v2[j + 1] ∈ ℕn))))
⇒ (rec-case(v2) of [] => v1 | a::as => r.if (v1 =z a) then if null(as) then b else hd(as) fi  else r fi  = v ∈ ℕn)
8. no_repeats(ℕn;[u / v2])
9. j : ℕ||v2|| + 1
10. v1 = u ∈ ℕn
11. (0 = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn)
12. (¬(0 = ((||v2|| + 1) - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = v2[0] ∈ ℕn)
13. j = 0 ∈ ℤ
14. v1 = u ∈ ℤ
⊢ if null(v2) then b else hd(v2) fi  = v ∈ ℕn
BY
{ (DVar `v2' THEN All Reduce THEN ThinTrivial THEN Auto THEN (Symmetry THEN BackThruSomeHyp)⋅) }

1
1. n : ℕ
2. b : ℕn
3. v : ℕn
4. v1 : ℕn
5. u : ℕn
6. u1 : ℕn
7. v3 : ℕn List
8. no_repeats(ℕn;[u1 / v3])
⇒ (∃j:ℕ||v3|| + 1
     ((v1 = [u1 / v3][j] ∈ ℕn)
     ∧ ((j = ((||v3|| + 1) - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn))
     ∧ ((¬(j = ((||v3|| + 1) - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = [u1 / v3][j + 1] ∈ ℕn))))
⇒ (if (v1 =z u1)
   then if null(v3) then b else hd(v3) fi 
   else rec-case(v3) of
        [] => v1
        h::t =>
         r.if (v1 =z h) then if null(t) then b else hd(t) fi  else r fi 
   fi 
   = v
   ∈ ℕn)
9. no_repeats(ℕn;[u; [u1 / v3]])
10. j : ℕ(||v3|| + 1) + 1
11. v1 = u ∈ ℕn
12. (0 = (((||v3|| + 1) + 1) - 1) ∈ ℤ) ⇒ (v = b ∈ ℕn)
13. (¬(0 = (((||v3|| + 1) + 1) - 1) ∈ ℤ)) ⇒ (v = u1 ∈ ℕn)
14. j = 0 ∈ ℤ
15. v1 = u ∈ ℤ
⊢ ¬(0 = (((||v3|| + 1) + 1) - 1) ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:
.....truecase..... 
1.  n  :  \mBbbN{}
2.  b  :  \mBbbN{}n
3.  v  :  \mBbbN{}n
4.  v1  :  \mBbbN{}n
5.  u  :  \mBbbN{}n
6.  v2  :  \mBbbN{}n  List
7.  no\_repeats(\mBbbN{}n;v2)
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}j:\mBbbN{}||v2||
          ((v1  =  v2[j])  \mwedge{}  ((j  =  (||v2||  -  1))  {}\mRightarrow{}  (v  =  b))  \mwedge{}  ((\mneg{}(j  =  (||v2||  -  1)))  {}\mRightarrow{}  (v  =  v2[j  +  1]))))
{}\mRightarrow{}  (rec-case(v2)  of
        []  =>  v1
        a::as  =>
          r.if  (v1  =\msubz{}  a)  then  if  null(as)  then  b  else  hd(as)  fi    else  r  fi 
      =  v)
8.  no\_repeats(\mBbbN{}n;[u  /  v2])
9.  j  :  \mBbbN{}||v2||  +  1
10.  v1  =  u
11.  (0  =  ((||v2||  +  1)  -  1))  {}\mRightarrow{}  (v  =  b)
12.  (\mneg{}(0  =  ((||v2||  +  1)  -  1)))  {}\mRightarrow{}  (v  =  v2[0])
13.  j  =  0
14.  v1  =  u
\mvdash{}  if  null(v2)  then  b  else  hd(v2)  fi    =  v


By

---

Latex:
(DVar  `v2'  THEN  All  Reduce  THEN  ThinTrivial  THEN  Auto  THEN  (Symmetry  THEN  BackThruSomeHyp)\mcdot{})

---

Home Index